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Os lucros diários de determinado comerciante com a venda de um de seus produtos podem ser considerados variáveis aleatórias independentes. Suponha que o valor médio e o desvio padrão dos lucros diários sejam de respectivamente e . Usando a aproximação fornecida pelo Teorema Central do Limite, calcule:
(a) A probabilidade do lucro trimestral(90 dias) ser superior a .
(b) O lucro semestral (180 dias) máximo a ser garantido com de chance.
(c) Qual o número mínimo de dias necessários para garantir um lucro de pelo menos ,00 com de chance.
Passo 1
a)
Vamos usar uma v.a. para representar o lucro diário do comerciante:
E nós temos vários dias, então temos vários lucros diários...
Sabemos que:
Mas a alternativa tá perguntando sobre o lucro trimestral, vamos criar uma v.a. para representá-lo:
A princípio não conhecemos nada sobre , mas um trimestre é um conjunto de dias, e nós temos a v.a. do lucro por dia! Então podemos escrever em função dela:
Já que o lucro do trimestre vai ser a soma dos lucros diários dos 90 dias!
E qual vai ser a distribuição e os parâmetros de ? Pega a dica da questão, pequeno garfanhoto! Ele diz pra gente usar a aproximação por TCL. E nós podemos fazer isso porque os ’s são independentes e seguem a mesma distribuição.
Mas como funfa essa aproximação mesmo? Segundo ela podemos dizer que vai seguir aproximadamente uma distribuição normal:
Onde , . Então:
Passo 2
Agora podemos calcular o que foi pedido:
Padronizando isso aí (pois estamos numa distribuição normal)...
Para podermos procurar o valor da normal padronizada na tabela, queremos um sinal de dentro do parênteses, então vamos trabalhar com a complementar:
Agora procuramos a probabilidade vinculada ao na primeira coluna da tabela com o na primeira linha:
Agora sutraímos isso aí do ali em cima e...
Passo 3
b)
Agora nossa v.a. é para o lucro semestral, vamos seguir o mesmo raciocínio. Vamos representa-la por :
Já que o lucro do trimestre vai ser a soma dos lucros diários dos 180 dias!
Pelo TCL de novo, vamos aproximar a uma normal, só que agora :
Agora queremos o contrário, foi dado o valor da probabilidade e queremos descobrir o valor dentro dos parênteses. Como queremos saber o lucro máximo possível, temos que descobrir o maior valor de , então vamos limitá-lo superiormente:
Concorda comigo que assim o tem um valor máximo? Por que dessa forma ele não pode valer nada maior que , então é seu máximo!
Nós sabemos que essa probabilidade é igual a:
Padronizando isso aí (porque, de novo, segue uma normal)...
Agora vamos ter que ir lááá na tabela da normal e procurar o associado à probabilidade no corpo da tabela que vale aproximadamente e igualá-lo ao que temos dentro do .
Lá no meio da tabela vamos achar um que vale , que é praticamente . Então vamos usar a probabilidade associada a ele:
E agora igualamos ele a nossa estatística:
Passo 4
c)
Agora o raciocínio é muito parecido, a diferença é que não vamos saber o número de dias, ou seja, nosso é desconhecido! Vamos criar uma v.a. que represente o lucro dos dias:
Ela vai ser a soma de lucros diários, certo? Então:
E pelo TCL vamos ter que:
Temos que garantir um lucro de pelo menos com de chance, então a probabilidade que vamos trabalhar fica:
Padrozinando isso aí, já que segue uma normal…
Mas precisamos estar com o sinal dentro do parênteses pra poder usar a tabela. Vamos fazer aquele paranauê então de inverter o sinal e multiplicar o que tá lá dentro por :
Agora procuramos o que valha , ou perto disso, no corpo da tabela...
E igualamos isso aí a nossa estatística:
Agora vamos resolver essa equaçãozinha aí. Podemos usar o seguinte artifício pra isso, uma substituiçãozinha pra gente se livrar da raíz:
E se é isso, vai ser...
Agora nossa equação é:
Resolvendo isso aí por Bhaskara:
Como , não vamos contar o resultado negativo. Então:
Se nosso número de dias está passando de , arredondamos para o próximos número de dias possíveis, ou seja...
Isso quer dizer que a probabilidade do lucro de dias ser maior que é de
Resposta
a)
b)
c)