A quantidade de partículas emitidas por uma fonte radioativa durante um período de uma hora é uma variável aleatória de Poisson com parâmetro λ, a princípio desconhecido. Sabe-se que a probabilidade de nenhuma partícula ser emitida durante esse intervalo de tempo é de 0,00673.

(a) Em média, quantas partículas são emitidas por hora? Escreva também a expressão da função densidade de probabilidade de, o tempo em horas entre duas emissões consecutivas.

(b) Sabendo que em 20 minutos após uma emissão nenhuma outra partícula foi emitida, qual a probabilidade de que precisamos esperar mais meia hora pela próxima emissão?

(c) Sejam os números de partículas emitidas pela fonte ao longo das 24 horas de um determinado dia, e admita que as quantidades de partículas emitidas em horas distintas são independentes entre si. Qual é a probabilidade de, ao longo dessas 24 horas, observarmos a emissão de no máximo 100 partículas?

(a) Como ele deu que vamos substituir na fórmula da Poisson:

Tomando dos dois lados:

Respondendo à outra pergunta do mesmo item, é importante lembrar que a variável aleatória que modela o tempo entre dois acontecimentos num experimento de Poisson é a v.a. com distribuição Exponencial. Assim, .

A função de densidade da exponencial é dada por Como temos nossa função de densidade vira

(b) O que ele quer saber é Agora é muito importante lembrar que a exponencial possui a propriedade de ser sem memória, isso é:

A vantagem de usar essa fórmula é que agora podemos integrar a função de densidade para achar probabilidades!

Vamos aplicar então essa fórmula ao nosso problema:

Agora antes de usar a fórmula da exponencial, precisamos tomar só mais um cuidado!

A variável aleatória está sendo medida em horas! Assim,

Como queremos 30 minutos, teremos que

Só lembrando integrais:

Agora integrando de até :

(c) Vamos chamar de nossa variável aleatória que conta quantas partículas foram enviadas ao longo de 24 horas. Vamos ter então que

Aqui já vai uma boa dica: sempre que você tiver uma soma de variáveis aleatórias, ainda mais se for uma soma “grande” como essa, desconfia que você vai er que usar o Teorema central do Limite!

Nesse caso, a gente pode até descobrir a distribuição da nossa variável ela é uma soma de v.a’s de Poisson independentes: o resultado também é uma Poisson com média dada pela soma das médias:

.

Agora o que queremos calcular é Repara que essa conta seria absurdamente grande! Vamos então usar o Teorema Central do Limite!

O Teorema Central do Limite nos diz que podemos aproximar essa variável por uma normal com média e variância iguais às da própria Agora a gente só precisa lembrar que: se então

Então a gente pode dizer que

Agora última coisa muito importante a se lembrar: como estamos aproximando uma variável discreta por uma variável contínua, precisamos fazer a correção de continuidade!

A gente só precisa somar ou subtrair ao valor que queremos calcular a probabilidade. Como queremos a probabilidade de ser maior que 100, vamos somar 0,5:

Agora é só olhar na tabela da normal-padrão a probabilidade: