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Exercícios Resolvidos de Teorema Central do Limite

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Exercício 1412345678910111213151617181920

Enunciado

USP probabilidade P2 2017

Duas marcas de capacitor tem o mesmo custo unitário, apresentando distribuição normal das capacitâncias. A marca ABC tem capacitância media de 30 m F   (mili Farad) e desvio padrão de 1 m F   A marca GHI tem capacitancia media de 32 m F   (mili Farad) e desvio padrão de 2 m F   . Sua indústria utiliza um número elevado destes capacitores. Se o valor mínimo desejável para a capacitancia for m, para que valores de m (em mF) é preferível empregar a marca ABC?

Passo 1

Fala pessoal. Vamos para mais uma questão. Dessa vez envolvendo distribuições normais.

Quando falamos de distribuições normais, o que vem a cabeça? A primeira coisa é o TCL e a segunda é o processo de normalização. Vamos ficar atentos na última.

Temos que:

  • A B C   ∼ N 30,1
  • G H I   ∼ N 32,2

Queremos m tal que P A B C   <   m   >   P G H I   <   m

Ou seja, a partir de qual m   é mais provável que o capacitor da marca ABC seja o mais próximo da configuração de interesse.

Passo 2

Agora que anotamos as informações das questões podemos resolvê-la.

Primeiro vamos descobrir para que m   as probabilidades são iguais, i.e

  ⇒   P A B C -   30   <   m   -   30   =   P G H I   - 32 2 <   m   -   32 2

O que fizemos aqui foi subtrair a média e dividir pelo desvio padrão. Fazendo isso temos duas distribuições normais padrão e agora podemos comparar as probabilidades.

⇒   P A B C -   30   <   m   -   30   =   P G H I   - 32 2 <   m   -   32 2   ⇔   m - 32 2   =   m - 30

  ⇔   m = 28  

Passo 3

Agora que sabemos para qual valor de m   as probabilidades são iguais (seria o valor que tanto faz escolher a ABC ou GHI). Iremos obter os valores de m   que satisfazem

P A B C   <   m   >   P G H I   <   m .

Testando m = 27   obtemos que P A B C   <   27   >   P G H I   <   27

Então escolhemos ABC se m < 28  

Resposta

m < 28  

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