O tempo de vida de uma lâmpada tem distribuição normal com esperança desconhecida , e um desvio padrão de horas. O valor real de um lote de lampadas e de reais, ou seja, o valor real é reais. Um possível comprador retira uma amostra de lampadas e compra o lote por reais, onde e a média aritmética das vidas das lâmpadas da amostra. Ou seja, o comprador paga reais pelo lote. Qual o menor tamanho da amostra para que haja uma probabilidade de pelo menos do comprador não pagar reais nem a mais nem a menos do valor real?

Fala pessoal, esta questão quer que calculemos a probabilidade de uma variável aleatória pertencer ao intervalo . Para isso iremos usar o (Teorema central do limite, ou Teorema do limite Central)

O nos diz que se são então:

Onde .

Essa é uma convergência em distribuição.

Agora vamos calcular .

onde é o tempo de vida da lampada

(pela linearidade da esperança)

(pois os tempos de vida são iid)

()

Agora podemos calcular

(pois a variância da soma é soma das variâncias se as variáveis forem independentes )

(pois as variáveis são identicamente distribuídas, logo tem a mesma variância)

(pois )

Logo

Com os valores de podemos calcular tal que:

Faremos isso usando o .

(subtraindo a média de e dividido por seu desvio padrão)

(onde pelo )

Vamos lembrar que queremos tal que

Mas vimos, no passo anterior, que

Onde

Ou seja, queremos tal que:

Usando uma tabela z, observa-se que

Logo

Como é inteiro, o menor inteiro maior que é