USP probabilidade e estatística probabilidades PSUB 2019
Toda manhã um engenheiro retira cem peças aleatoriamente de um novo lote produzido independentemente dos demais lotes, e verifica quantas peças tem defeito. O número de peças com defeito no dia é indicado por . Sabe-se que a probabilidade de defeito em uma peça é . Ao fim de um período de dias, qual a probabilidade que o número total de peças com defeito seja maior ou igual a ?
Passo 1
Fala pessoal. Tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão. Dessa vez uma que usa o TCL (teorema central do limite). Como de costume, vamos anotar as informações passadas no enunciado
É o número de peças com defeito de um total de 100 no lote escolhido no dia
A probabilidade de uma peça apresentar defeito é
Os lotes são independentes
Queremos calcular a probabilidade que o número total de peças com defeito seja maior ou igual a . De forma matemática queremos:
por questão de simplicidade, chamaremos de
Passo 2
Eita ferro, queremos calcular . Como vamos fazer isso?
Calma jovem, vamos analisar com calma. Queremos calcula a probabilidade de uma SOMA de variáveis aleatórias. Será que tem algum teorema que pode nos ajudar com isso? Mas é claro que tem. Podemos usar o TCL (teorema central do limite). Lembra-se dele? Vamos revisar
O TCL diz o seguinte:
Sejam variáveis aleatórias então
Onde .
No nosso caso o seria o nosso .
Ou seja, temos uma forma de aproximar a nossa probabilidade de interesse utilizando uma normal padrão. Mas para isso precisamos calcular e
Passo 3
Como falado no passo anterior, vamos usar o TCL para calcular nossa probabilidade, mas para isso precisamos encontrar e .
Vamos calcular para um qualquer.
Bem temos que nosso uma variável aleatória que conta o número de pessas defeituosas dentre 100 peças no dia . Será que tem uma distribuição conhecida?
Vamos reescrever o que conta de uma forma mais familiar.
uma variável aleatória que conta o número de caras entre 100 lançamentos de uma moeda no dia , onde a probabilidade de cara é
Agora ficou mais fácil, né? Pois a variável que conta o número de caras em 100 lançamentos é uma binomial, logo
E é um resultado conhecido que a esperança de uma é dada por e sua variância por
Então
=
Passo 4
Ainda não acabamos, pois precisamos da e para usar o TCL.
Mas essas podem ser calculadas usando os resultados do passo anterior. 😊
(pela linearidade)
(no passo anterior vimos que cada Xd é uma binomial, e calculamos essa esperança)
E para agora a variância
(pela independência dos lotes)
Passo 5
Finalmente temos tudo que precisamos para usar o TCL.
Queremos calcular
(Subtraindo a média)
(dividido pelo desvio padrão)
Onde pelo TCL
Usando a tabela-z (tabela contendo as probabilidades da distribuição normal) obtemos que
Finalmente acabamos!!!!!
As questões que envolvem o TCL são grandinhas, mas quase todas são resolvidas da mesma forma que essa questão. Espero que os passos tenham ficado claro. Bons estudos e até a próxima pessoal!!!