A posição de uma partícula em função do tempo é dado por:

r → t = 4 sin ⁡ ( 2 π t ) i → + 4 cos ⁡ ( 2 π t ) j → ,

onde r está em metros e t em segundos.

(b) Qual o período do movimento?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o período do movimento, que é o tempo que a partícula leva pra realizar uma volta completa no movimento circular. O período T pode ser dado pela equação:

T = 2 π r v

Onde v é o módulo da velocidade da partícula, que é obtido derivando o vetor posição r → t . E r é o módulo do vetor posição.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada da posição e obtendo o vetor velocidade:

d d t r → t = d d t 4 sin ⁡ 2 π t i → + 4 cos ⁡ 2 π t j →

v → t = 8 π cos ⁡ ( 2 π t ) i → - 8 π sin ⁡ 2 π t j →

Agora vamos calcular o módulo do vetor velocidade (tirando a raiz quadrada da soma de suas componentes ao quadrado):

v → t = 8 π cos ⁡ ( 2 π t ) 2 + - 8 π sin ⁡ 2 π t 2

v → t = ( 64 π 2 cos 2 ⁡ ( 2 π t ) + 64 π 2 sin 2 ⁡ 2 π t )

Colocando 64 π 2 em evidência na raiz e usando a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ ( 2 π t ) + cos 2 ⁡ ( 2 π t ) = 1 , temos:

v → t = 64 π 2 ( cos 2 ⁡ ( 2 π t ) + sin 2 ⁡ 2 π t ) = 64 π 2 = 8 π

O módulo do vetor posição r → t = 4 sin ⁡ ( 2 π t ) i → + 4 cos ⁡ ( 2 π t ) j → é dado por:

r → t = 4 sin ⁡ ( 2 π t ) 2 + 4 cos ⁡ ( 2 π t ) 2

r → t = 16 ( sin 2 ⁡ 2 π t + cos 2 ⁡ 2 π t ) = 16 = 4

Assim, fazendo T = 2 π r v com os resultados dos módulos que nós obtivemos, vamos ter:

T = 2 π r v = 2 π ∙ 4 8 π

Logo,

T = 8 π 8 π = 1   s

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

T = 1   s

Exercícios Resolvidos de Vetor Deslocamento

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