Considere um átomo de hidrogênio em repouso com massa total . Suponha que o elétron deste átomo passou do primeiro estado excitado para o estado de energia mais baixa, através da emissão de um fóton. Utilize o modelo de Bohr para responder os itens abaixo. Forneça seus resultados apenas em termos de , , da massa de repouso do elétron e da constante de Rydberg .
(a) Calcule o comprimento de onda do fóton emitido.
(b) Ao emitir o fóton, o átomo de deve recuar na direção oposta para que haja conservação de momento. A velocidade de recuo do átomo de é muito menor do que a velocidade da luz . Calcule .
(c) Se o fóton emitido for espalhado por um elétron em repouso, qual será o maior valor possível do seu comprimento de onda?
Passo 1
A energia do elétron num nível é dada por
O estado de mais baixa energia corresponde a e o primeiro estado excitado corresponde a . A energia do fóton emitido será a diferença entre os dois níveis.
Dessa forma o comprimento de onda do fóton vai ser dado por
Passo 2
Aqui temos a informação de que a velocidade de recuo do átomo de é muito menor do que a velocidade da luz (). Assim não precisamos usar correções relativísticas!
Desta forma, então, o momento linear adquirido pelo átomo de será em módulo igual ao momento do fóton (já que antes da emissão o sistema estava em repouso). Assim
Passo 3
Agora vamos aproveitar esse nosso fóton emitido pelo átomo de hidrogênio e vamos jogar em cima de um elétron que tá em repouso de boa na lagoa.
Nós já ouvimos falar de uma situação parecida com essa. Esse seria o espalhamento Compton. Nesse caso o fóton seria espalhado pelo elétron e teria seu comprimento de onda mudado de para . A equação que relaciona esses dois comprimentos de onda é
Para que seja máximo é necessário que seja mínimo, ou seja . Assim teremos o maior comprimento de onda possível dado por