USP – Física 4 – 2019 – P2 – Exercício 3ab
Considere o modelo de Bohr para um íon monoeletrônico com número atômico . Neste caso, um elétron de massa e carga move-se numa órbita circular de raio em torno de um núcleo fixo de carga .
a) Partindo da segunda lei de Newton determine o módulo da velocidade do elétron em função do raio da órita .
b) Utilizando a quantização do momento angular, deduza a energia do íon num estado estacionário caracterizado pelo número quântica .
As respostas devem ser dadas apenas em termos do número quântico , do número atômico e das constantes fundamentais , massa do elétron , e .
Passo 1
Oieeeee, vamos resolver mais uma questão de prova da POLI? Essa é uma questão muito legal sobre átomo de Bohr: vamos derivar a equação para energia de um íon com um único elétron e número atômico .
No item (a) nós vamos usar a famosa segunda lei de Newton:
No caso, a força resultante é a força de atração entre as cargas e , enquanto a aceleração é a aceleração centrípeta
Portanto,
Logo,
Tirando a raiz:
Passo 2
O item (a) foi bem simples, agora vamos para o item (b)! Primeiro temos que lembrar que o momento angular de uma corpo de massa executando um movimento circular de raio e velocidade é
Aplicando a quantização do momento angular, temos que
Foi exatamente isso que Bohr fez para obter o espectro de energias do átomo de hidrogênio! Assim,
Usando o resultando do item (a) para a velocidade, temos que
Portanto,
Elevando a equação ao quadrado:
Temos assim uma expressão para o raio da n-ésima órbita possível.
Passo 3
Como queremos achar a energia do sistema, vamos lembrar que ela pode ser dividida em uma energia cinética e uma energia potencial :
A energia cinética é
Usando o resultando do item (a):
Já para a energia potencial, temos que
Portanto, a energia total será
Passo 4
Agora só falta usar a expressão de encontrada no passo 2:
Assim,
Juntando tudo temos que
Eu sei que essas contas são bem chatas e dão trabalho, mas pense no quão bonitinho esse resultado é! Com uma continha simples usando mecânica clássica e impondo o quantização do momento angular nós obtemos uma expressão fechadinha e bonitinha para as energia do átomo de hidrogênio que concordam muito bem com a experiência! Física é incrível 😊
Resposta
a)
b)