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Exercícios Resolvidos de Átomo de Bohr

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Enunciado

Física 4 – PUC RJ – 2019.2 – P3 – Questão 2

a) Um íon de Hélio ( H e 2 + ), em um estado excitado, sofre uma transição emitindo um fóton de comprimento de onda de 102,56   n m . Quais são os níveis de energia inicial e final do íon de Hélio nessa transição?

b) Para um átomo de Hidrogênio no primeiro nível ( L = ℏ ), calcule a velocidade do elétron coo fração de c (velocidade da luz) e argumente se o tratamento não-relativístico é uma boa aproximação.

Passo 1

Eai galerinha, prontos para resolver uma questão de física 4?

Nesse problema vamos discutir o átomo de Bohr. Você deve saber que, para o átomo de Hidrogênio, os níveis de energia são dados por

E n = - 13,6 n 2   e V

Essa fórmula vale também para o Hélio? Para o átomo de Hélio não, mas vale para o íon Hélio se fizermos uma pequena modificação:

E n = - Z 2 13,6 n 2   e V ,

onde Z é o número de prótons do íon. Na verdade, essa fórmula vale para qualquer íon hidrogenóide, isto é, um íon com apenas um elétron. Para o Hélio, temos Z = 2 , de modo que

E n = - 4 ⋅ 13,6 n   e V = - 54,4 n 2   e V

Vamos calcular os níveis de energia para diferentes n :

n = 1 → E 1 = - 54,4   e V

n = 2 → E 2 = - 13,6   e V

n = 3 → E 3 = - 6   e V

n = 4 → E 4 = - 3,4   e V

n = 5 → E 5 = - 2,2   e V

n = 6 → E 6 = - 1,5   e V

Passo 2

Queremos saber qual a transição que corresponde a um fóton com comprimento de onda λ = 102,56   n m . Para isso, usamos a expressão para a energia de um fóton:

E = h f = h c λ

Usando h c = 1240   e V   n m , temos que

E = 1240   e V   n m 102,56   n m = 12,1   e V

Olhando para o espectro de energia do passo anterior, temos que procurar uma diferença de energias que seja próxima de 12,1   e V . Note que isso ocorre entre n = 2 e n = 6 :

E 6 - E 2 = - 1,5 - 13,6 = 12,1   e V

Portanto, a transição eletrônica ocorre entre os níveis n = 6 e n = 2 !

Passo 3

Agora vamos para o item (b)!

O enunciado disse que o momento angular do elétron na órbita é L = ℏ . Queremos achar sua velocidade. Esse é um probleminha de física 1 basicamente...

O momento angular num movimento circular é simplesmente o produto do momento linear p = m v com o raio r :

L = r m v = ℏ

Além disso, a força centrípeta é dada pela força de atração entre o elétron e o próton:

k e 2 r 2 = m v 2 r → r = k e 2 m v 2

Lembre-se que a atração entre o elétron e o próton é dada pela lei de Coulomb e k = 9 ⋅ 10 9   N m 2 / C 2 . Com isso, substituindo o raio na expressão do momento angular:

k e 2 m v 2 ⋅ m v = ℏ → v = k e 2 ℏ

Como ℏ = h / 2 π , temos que

v = 2 π k e 2 h

No SI, substituímos e = 1,6 ⋅ 10 - 19   C e h = 6,63 ⋅ 10 - 34   J s :

v = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 9 ⋅ 10 9 ⋅ 1,6 ⋅ 10 - 19 2 6,63 ⋅ 10 - 34 = 21,8 ⋅ 10 5   m / s

Dividindo pela velocidade da luz:

v c = 21,8 ⋅ 10 5 3 ⋅ 10 8 = 7,3 ⋅ 10 - 3

Logo,

v = 7,3 ⋅ 10 - 3   c

Vemos que v é menos que 1 % da velocidade da luz, de modo que não precisamos levar em conta efeitos relativísticos.

Resposta

n = 6 → n = 2

v = 7,3 ⋅ 10 - 3   c

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