Origem do Exercício
No modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, um elétron de carga e massa percorre uma órbita circular em torno de um núcleo de carga .
- Deduza a expressão clássica para a velocidade do elétron em função de , , e do raio da órbita.
- Usando a regra de Bohr para a quantização do momento angular do elétron, deduza a expressão para os raios , correspondentes às órbitas permitidas do átomo de hidrogênio.
- Um átomo de hidrogênio no primeiro estado excitado () efetua uma transição para o estado fundamental () emitindo um fóton. Dado que o átomo de hidrogênio estava inicialmente em repouso, calcule sua velocidade após a transição.
Passo 1
Letra a)
Para o elétron em movimento circular uniforme, teríamos a força elétrica agindo como uma força centrípeta.
Mas a constante da força elétrica (lei de Coulomb) é:
Assim:
Passo 2
Letra b)
A regra de Bohr para a quantização do momento angular do elétron é:
Podemos elevar tudo ao quadrado e obter
Substituindo a velocidade encontrada no item anterior.
Rearrumando:
Passo 3
Letra c)
Podemos usar a conservação do momento linear. O momento linear inicial é zero, pois o átomo está em repouso, e depois será a soma do momento do fóton emitido e do átomo.
A energia do átomo de Bohr é:
Na transição , a energia do fóton emitido vai ser:
Assim:
A massa do átomo de hidrogênio é e a velocidade da luz é . Além disso, o sinal apenas representa que a velocidade do átomo será oposta à do fóton. Se olharmos apenas a magnitude da velocidade, podemos usar o valor absoluto.
Resposta
Letra a)
Letra b)
Letra c)