No Modelo de Bohr para o átomo de Hidrogênio, o elétron descreve uma órbita circular ao redor do núcleo atômico; as órbitas possíveis obedecem à quantização do momento angular, .

a) Mostre que a quantização do momento angular leva à quantização do raio das órbitas permitidas e em particular que o raio do estado fundamental é .

b) Fótons com energias de e são bombardeados sobre átomos de induzindo transições eletrônicas a níveis mais excitados. Determine, para essa duas energias dos fótons incidentes, qual é o estado final da transição induzida.

c) O Modelo de Bohr, apesar de encontrar corretamente os níveis de energia, não explica uma série de outros fenômenos associados ao átomo de H. Um deles é o decaimento espontâneo: estados excitados decaem a outros de energia mais baixa após um curto período de tempo. Seja um processo de emissão espontânea em que um átomo emite um fóton com em um intervalo de tempo . Determine a incerteza associada ao comprimento de onda desse fóton. (Dica: de , determine a derivada ).

Substituindo na expressão para , temos:

Com encontramos o raio de Bohr:

b) Da teoria, lembramos que:

Lembramos também que:

Substituindo na primeira equação:

Com e para cada valor da energia, temos:

Para :

Para :

c) Da teoria, lembramos que:

Lembramos também que:

Derivando essa última equação, temos:

De acordo com o enunciado podemos escrever:

Substituindo na primeira equação, temos: