Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

Exercício 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 20 21 22 23 24 25 26 27

Enunciado

UFRJ, P3-2019.1

Calcule um vetor que pertence ao complemento ortogonal do conjunto

Passo 1

Belezera meus amores, se um vetor é complemento ortogonal de , quer dizer que ele é ortogonal a cada um dos vetores dessa base de . E a condição para ser um vetor ser ortogonal a outro, é que o produto interno entre eles tem que ser igual a . Portanto se a gente fizer o produto interno do vetor com os vetores da base de e der , então encontraremos nosso vetor abençoado!! Cola aqui comigo.

Passo 2

Na letra (a), temos o vetor . Se a gente fizer produto interno entre ele o primeiro vetor da base de , temos que:

E logo de cara, nosso vetor já não era ortogonal. Portanto esse aqui não pode ser nosso complemento ortogonal. Next!

Passo 3

Já na letra (b), temos o vetor , e fazendo o produto interno dele com o primeiro vetor da base de , temos:

Testando então para o segundo vetor, temos:

E para o último vetor, temos:

Portanto, esse também não é nosso comtemplado!

Passo 4

Agora para o vetor da letra (c), temos que:

Logo, esse também não é nosso vetor.

Passo 5

E por fim, nosso ultimo vetor , temos:

Testando então para o segundo vetor, temos:

E para o último vetor, temos:

Logo, nossa resposta certa é a letra (d)

Resposta

Letra (d).

Exercícios de Livros Relacionados

21. Seja { w 1 , w 2 , … ,w k } uma base de algum subespaço W de V . Mostre que W ⊥ consiste em todos os vetores de V que são ortogonais a cada um dos vetores da base.

20. Seja { v 1 ,v 2 ,… , v r } uma base de um espaço com produto interno V . Mostre que o vetor nulo é o único vetor em V que é ortogonal a cada um dos vetores da base.

Seja A x = 0 um sistema de m equações e n incógnitas. Mostre que x = x 1 x 2 ⋮ x n É uma solução do sistema se, e só se, o vetor x =( x 1 , x 2 , … , x n ) é ortogonal a cada vetor linha de A em relaç

18. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se w for ortogonal a ambos u 1 e u 2 , então w é ortogonal a k 1 u 1 + k 2 u 2 , quaiquer que sejam os escalares k 1 e k 2 . Interprete esse result

19. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se w for ortogonal a cada um dos vetores u 1 , u 2 , ... , u f , então w é ortogonal a cada vetor em ger{ u 1 , u 2 , ... , u f }.