Seja H ∈ R 4 o espaço gerado por 1,1 , 1,4 , ( 0,1 , 0,1 ) e 0,0 , 1,1 .   Se ( x , y , z , 1 ) pertence ao complemento ortogonal de H , então x vale:

(a) -2

(b) -3

(c) -4

(d) -5

Passo 1

Se ( x , y , z , 1 ) pertence ao complemento ortogonal de H , então pela definição, esse vetor é ortogonal a todos os vetores de H.

Em particular, ele vai ser ortogonal aos vetores da base de H.

Logo, o produto interno de ( x , y , z , 1 ) com cada um dos vetores de uma base de H vai ser 0.

E repara que os 3 vetores geradores de H são LI, logo eles formam uma base para H.

α = { 1,1 , 1,4 ,   0,1 , 0,1 ,   0,0 , 1,1 }

Passo 2

Vamos então fazer o produto interno do vetor x , y , z , 1 com cada vetor da base α .

x , y , z , 1 , 1,1 , 1,4 = 0 ⇒ x + y + z + 4 = 0

x , y , z , 1 , 0,1 , 0,1 = 0 ⇒ y + 1 = 0

x , y , z , 1 , 0,0 , 1,1 = 0 ⇒ z + 1 = 0

Pela segunda equação:

y = - 1

E pela terceira:

z = - 1

Substituindo esses dois valores na primeira equação, já conseguimos achar o valor de x:

x - 1 - 1 + 4 = 0

x + 2 = 0

x = - 2

Resposta

(a) -2

Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

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