Produto Interno e Complemento ortogonal
Seja , exiba um vetor que satisfaça .
Passo 1
Como primeiro temos que calcular o complemento ortogonal, vamos fazer:
Montando o sistema:
Assim o complemento ortogonal é:
Passo 2
Assim, vamos ver a norma de :
Obviamente, a norma desse vetor não é . Para fazer dar , vamos normalizar o vetor e tornar sua norma para ficar mais fácil de trabalhar.
Agora basta multiplicar, pelo escalar real :
Repare que agora a norma do nosso vetor é exatamente !
Repare, também, que apenas multiplicamos por escalares reais! Não alteramos direção alguma!
Resposta
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20. Seja { v 1 ,v 2 ,… , v r } uma base de um espaço com produto interno V . Mostre que o vetor nulo é o único vetor em V que é ortogonal a cada um dos vetores da base.
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18. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se w for ortogonal a ambos u 1 e u 2 , então w é ortogonal a k 1 u 1 + k 2 u 2 , quaiquer que sejam os escalares k 1 e k 2 . Interprete esse result
19. Seja V um espaço com produto interno. Mostre que se w for ortogonal a cada um dos vetores u 1 , u 2 , ... , u f , então w é ortogonal a cada vetor em ger{ u 1 , u 2 , ... , u f }.