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Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

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Enunciado

USP, Álgebra Linear 2, 2020.1, P2, Q13

Seja V um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno e seja S um subespaço de V que satisfaz S ≠ { 0 } e S ≠ V . Considere as seguintes afirmações sobre o operador linear T : V → V , definido por T v = 2 p r o j S v - v , para todo v ∈ V :

  1. T é simétrico.
  2. T é diagonalizável, mas não existe base ortonormal de V na qual a matriz de T é diagonal.
  3. Os autovalores de T são 1 e - 1 .

Está correto o que se afirma em:

Escolha uma opção:

  1. 2
  2. 1
  3. 2 e 3
  4. 1 e 3
  5. 3

Passo 1

Faaaaala, pessoal! Um conceito fundamental para essa questão é o de complemento ortogonal. Dado o subespaço S ⊂ V , seu complemento ortogonal é:

S ⊥ = x ∈ V     x ⋅ s = 0 ,   ∀ s ∈ S }

E ainda, a soma direta equivale ao próprio V :

V = S ⊕ S ⊥ =   u + v     u ∈ S ,   v ∈ S ⊥ }

Assim, todo elemento x ∈ V , pode ser escrito como x = u + v onde   u ∈ S ,   v ∈ S ⊥ . Relativo a projeção, temos que para u ∈ S :

T u = 2 p r o j S u - u = 2 u - u

⇒ T u = u

Logo, 1 é autovalor e todo u ∈ S é autovetor. Analogamente, para v ∈ S ⊥ :

T v = 2 p r o j S v - v = 2 ⋅ 0 - v

⇒ T v = - v

Logo, - 1 é autovalor e todo v ∈ S ⊥ é autovetor. Contudo, não há mais autovalores, porque o único outro tipo de vetor que temos seria u + v ∈ V , com u e v ≠ 0 . Mas pela linearidade, suponha que u + v seja autovetor,

T u + v = T u + T v =

⇒ λ u + v = u - v

⇒ λ - 1 u = ( - λ - 1 ) v

Esse elemento pois x = λ - 1 u = ( - λ - 1 ) v pertence a S ∩ S ⊥ , isto é, é perpendicular a si mesmo. O único elemento que atende a isto é x = 0 :

λ - 1 u = - λ - 1 v = 0

Para λ ≠ ± 1 , veja que teremos ambos elementos nulos, contrariando a hipótese. Assim, (3) já está correta.

Passo 2

Como S e S ⊥ (este último por teorema) são subespaços de dimensão finita, têm bases respectivamente { u 1 ,   … ,   u r } e { v 1 ,   … ,   v s } . Pelo processo de Gram-Schmidt é possível ortonormalizá-las, então vamos assumi-las ortonormais. Ainda, como todo u ∈ S e todo v ∈ S ⊥ são autovetores, temos que as bases ortonormais { u 1 ,   … ,   u r } e { v 1 ,   … ,   v s } são autovetores.

Há ainda que como u i ∈ S e v j ∈ S ⊥ , temos u i ⋅ v j = 0 ,   ∀ i ,   j . De forma que { u 1 ,   … ,   u r , v 1 ,   … ,   v s } é um conjunto de autovetores ortonormais. Pela ortogonalidade, são L.I. Lembre que todo x ∈ V , pode ser escrito como:

x = u + v

= α 1 u 1 + … + α r u r + β 1 v 1 + … + β s v s  

Logo, { u 1 ,   … ,   u r , v 1 ,   … ,   v s } é L.I. e gera todos os elementos de V , de forma que é base de V e, ainda, ortonormal e feita de autovetores.

O que temos de mais importante disto é que pela existência da base de autovetores, T é diagonalizável na forma:

[ T ] = P D P - 1

Com D diagonal e P possuindo por colunas os elementos de { u 1 ,   … ,   u r , v 1 ,   … ,   v s } . Quando as colunas de uma matriz formam um conjunto ortonormal, dizemos que esta é ortogonal e temos:

P - 1 = P t

Dessa forma:

T t = P D P t t

= P t t D t P t

= P D P t

= [ T ]

Logo, T é um operador simétrico.

Passo 3

Como só existe essa opção, assumimos que (2) esteja errada e concluímos que apenas ( 1 ) e ( 3 ) estão corretas.

Resposta

d. 1 e 3

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