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Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

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Enunciado

Seja W subespaço vetorial de R n . Considere o conjunto

W ⊥   = { v ∈ R n l v   . w = 0     p a r a   t o d o   w ∈ W }

dito complemento ortogonal de W em R n .

  1. Mostre que W ⊥   é um subespaço vetorial de R n .
  2. Mostre que W ⊥   ⋂ W = { 0 } .
  3. Assuma que W = g e r 1,2 , - 3 , 3,1 , - 1 . Sabendo que v = a , b , 1 ∈   W ⊥   , determine os valores de a e b .

Passo 1

a)

Bom, este item pede para mostrarmos que W ⊥   , que são os vetores ortogonais a W , é subespaço de R n , para isso vamos seguir aqueles 3 passos de sempre:

Mostrar que esse conjunto contém o vetor nulo.

Sabemos que para todo w ∈ W   :

0 , w   = 0

Então, independente que qual espaço W estamos falando, o vetor nulo vai atender a condição para estar em W ⊥   .

Passo 2

Mostrar que a soma de dois elementos de W ⊥   está em W ⊥   .

Seja então   u ,   v   ∈   W ⊥   , temos que para todo w   ∈ W :

u ,   w   =   v ,   w   = 0

Consequentemente:

u + v ,   w   =   u ,   w + v ,   w   = 0 + 0 = 0

Então u + v também atende a condição para estar em W ⊥   .

Passo 3

Mostrar que os múltiplos de elementos de W ⊥   estão em W ⊥   .

Seja então   v   ∈   W ⊥   e λ ∈ R , temos que para todo w   ∈ W :

v ,   w = 0

Consequentemente:

λ v ,   w = λ v ,   w =   λ 0 = 0

Então λ u também está em W ⊥   .

Como ele atendeu aos 3 requisitos, é um espaço vetorial.

Passo 4

b)

Para este item precisamos olhar atentamente para a definição de W ⊥   . W ⊥   são os vetores ortogonais a todos os vetores de W . Então se um vetor está em   W e W ⊥   ao mesmo tempo, ele precisa ser ortogonal a ele mesmo, logo deve satisfazer:

u , u = 0

Mas sabemos pela positividade do produto interno que só o vetor nulo satisfaz essarelação, como queríamos mostrar.

Passo 5

c)

Se W = g e r   1,2 , - 3 , 3,1 , - 1 , então 1,2 , - 3 e 3,1 , - 1 estão em W , logo o vetor ( a , b , 1 ) será ortogonal a eles:

1,2 , - 3 , a , b , 1 = 0

3,1 , - 1 , a , b , 1 = 0

Passo 6

Pela primeira temos:

a = - 2 b + 3

Substituindo na segunda:

- 6 b + 9 + b - 1 = 0

- 5 b =   - 8

b = 8 5

Substituindo na primeira equação:

a + 16 5 - 3 = 0

a = - 1 5

Resposta

c) a = - 1 5   e b = 8 5

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