(a) Considere o produto interno em definido por
onde
Considere o subespaço vetorial de
Determine uma base do seu complemento ortogonal .
(b) Considere o subespaço vetorial
Encontre um produto interno em tal que o complemento ortogonal de seja
Passo 1
(a) Seja um vetor qualquer de e um vetor de
Pela definição, temos que:
Foi dado no enunciado que
Vamos dizer que e
Então:
Usando o produto interno dado no enunciado:
Então os vetores de são:
Ou seja, todos os vetores de são múltiplos do vetor , então esse vetor forma uma base para esse subespaço.
Qualquer múltiplo escalar desse vetor também forma uma base, então pode haver várias respostas possíveis:
Passo 2
(b) Vamos pegar o vetor e o vetor .
Se tentarmos o produto interno euclidiano usual entre eles, vamos obter:
Então esses vetores não seriam ortogonais, e o vetor não estaria no complemento ortogonal de .
Vamos então tentar um produto interno euclidiano ponderado, da forma:
Usando esse produto interno que definimos e fazendo:
Vamos ficar com:
Podemos escolher então:
E definir o produto interno:
Resposta
(a) ou qualquer outro conjunto com um múltiplo escalar desse vetor.
(b) Qualquer produto interno do tipo
satisfazendo