Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

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Enunciado

Projeção e Reflexão Ortogonal e Mínimos Quadrados

À questão “Seja . Calcule a projeção ortogonal de em .”, Bruninha deu a seguinte solução:

Mostre que . Explique por que Bruninha não deveria esperar que seu cálculo de resultasse no vetor nulo (e portanto sua solução está errada).

Passo 1

Existem vários jeitos de mostrar a primeira parte da pergunta. Um dos jeitos de ver é calcular o complemento ortogonal na marra, e verificar que não está nele. No caso, Bruninha calculou certo o , então é só ver que esses vetores não são múltiplos.

Outro jeito é perceber que o produto interno entre o vetor e o primeiro vetor que gera , isto é, , não é nulo: . Se esse vetor pertencesse ao complemento ortogonal de , teria que ser ortogonal a todos os vetores de . E é só lembrar que dois vetores são ortogonais quando o produto interno deles dá zero. E vimos que isso não acontece!

Passo 2

Não deveria esperar que resultasse no vetor nulo porque, para isso, o vetor deveria pertencer ao complemento ortogonal de , que ela já havia calculado. E como neste caso o complemento ortogonal é gerado por apenas um vetor, então é fácil verificar que . E, assim, a projeção ortogonal sobre não pode dar zero, pois isso só ocorre com os elementos do complemento ortogonal do espaço no qual está sendo projetado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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