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Exercícios Resolvidos de Derivadas - Matriz Jacobiana

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Exercício 71234568910111213141516171819202122232425262728

Enunciado

Passo 1

A diferencial de uma função é dada por

d X 0 f = ∑ J f X 0 ∙ d X

Ou seja, o somatório dos produtos das derivadas parciais da função em relação as suas variáveis X com seus respectivos valores de d X .

Passo 2

Vamos então calcular a matriz de derivadas dessa função:

J f =   ∂ f 1 ∂ x 1 ∂ f 1 ∂ x 2 ∂ f 2 ∂ x 1 ∂ f 2 ∂ x 2 ∂ f 3 ∂ x 1 ∂ f 3 ∂ x 2

∂ f 1 ∂ x 1 = 1

∂ f 1 ∂ x 2 = - 1

∂ f 2 ∂ x 1 = - 1

∂ f 2 ∂ x 2 = 1

∂ f 3 ∂ x 1 = x 2

∂ f 3 ∂ x 2 = x 1

Assim,

J f =   1 - 1 - 1 1 x 2 x 1

Em X 0 = x 1 0 , x 2 0 :

J f x 1 0 , x 2 0 =   1 - 1 - 1 1 x 2 0 x 1 0

Passo 3

Agora falta só calcularmos o nosso d X , que nada mais é que a variação no vetor X quando saímos de X e vamos para X 0 , assim

d X = X - X 0

d X = x 1 x 2 - x 1 0 x 2 0

d X = x 1 - x 1 0 x 2 - x 2 0

Passo 4

Substituindo tudo na fórmula da diferencial:

d X 0 f =   1 - 1 - 1 1 x 2 0 x 1 0 ∙ x 1 - x 1 0 x 2 - x 2 0

d X 0 f = x 1 - x 2 - x 1 0 + x 2 0 - x 1 + x 2 + x 1 0 - x 2 0 x 2 0 x 1 + x 1 0 x 2 - 2 x 1 0 x 2 0

Resposta

d X 0 f ( x 1 - x 1 0 , x 2 - x 2 0 )   = x 1 - x 2 - x 1 0 + x 2 0 - x 1 + x 2 + x 1 0 - x 2 0 x 2 0 x 1 + x 1 0 x 2 - 2 x 1 0 x 2 0

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