Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das funções abaixo, em seguida, calcule a matriz Jacobiana dessas funções.

b) f(x, y) = xy + y^3 + cos(x)

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que calculemos as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função abaixo:

f x , y = x y + y 3 + cos ⁡ x

Lembrando que a derivada parcial é a derivada com respeito a uma daquelas variáveis, com as outras variáveis mantidas constantes.

A questão também dos pede a matriz jacobiana da função.

Lembrando que a matriz Jacobiana para duas variáveis e uma função é dada por:

J = ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y

E aí? Bora lá aplicar?

😉

Passo 2

Então... fazendo as derivadas parciais de primeira relação a x , temos:

∂ f ∂ x = y - sin ⁡ x

Para a derivada de segunda ordem, temos:

  • Em relação a x :
  • f x x = - cos ⁡ x

  • Em relação a y :
  • f x y = 1

    Agora, calculando a derivada de primeira ordem em relação a y :

    ∂ f ∂ y = x + 3 y 2

    Para a derivada de segunda ordem, temos:

  • Em relação a x :
  • f y x = 1

  • Em relação a y :

f y y = 6 y

Passo 3

Por fim, fazendo a matriz Jacobiana, obtemos:

J = ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y ∴

J = y - sin ⁡ x x + 3 y 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

∂ f ∂ x = y - sin ⁡ x

f x x = - cos ⁡ x

f x y = 1

∂ f ∂ y = x + 3 y 2

f y x = 1

f y y = 6 y

J = y - sin ⁡ x x + 3 y 2

Exercícios Resolvidos de Derivadas - Matriz Jacobiana

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