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Exercícios Resolvidos de Derivadas - Matriz Jacobiana

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Enunciado

UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, P2 - Prof. Jorge Delgado - 2023 - Verão, Questão 5a

A função F r ,   θ ,   z = r   c o s   θ ,   r   s e n   θ , z fornece a mudança de variáveis para coordenadas cilíndricas de eixo z . As coordenadas ( r ,   θ ,   z ) são determinadas a partir do fato de que cada ponto x ,   y ,   z ∈ R 3 pertence ao cilindro de eixo z e raio igual a r = x 2 + y 2 = distância do ponto x ,   y ,   z até o eixo z , sendo θ o ângulo que o segmento da origem até x ,   y ,   0 faz com o semieixo positivo x no plano x y .

  1. Calcule a matriz Jacobiana e o Jacobiano de F no ponto r ,   θ , z .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcularmos a matriz Jacobiana e o Jacobiano de F no ponto r ,   θ , z .

Mas o que é essa matriz e esse Jacobiano?

Bom... a matriz Jacobiana é a matriz formada pelas derivadas parciais de primeira ordem de uma função vetorial. Veja:

Já o Jacobiano nada mais é do que o determinante da matriz Jacobiana!!

Agora vamos aplicar!!

Passo 2

Bom... Para determinar a matriz Jacobiana de F r ,   θ ,   z , faz-se:

D F r ,   θ ,   z = ∂ F 1 ∂ r ∂ F 1 ∂ θ ∂ F 1 ∂ z ∂ F 2 ∂ r ∂ F 2 ∂ θ ∂ F 2 ∂ z ∂ F 3 ∂ r ∂ F 3 ∂ θ ∂ F 3 ∂ z ∴

Onde F 1 = r cos ⁡ θ ,   F 2 = r   s e n θ e F 3 = z .

Dessa forma, fazendo as derivadas parciais, temos:

D F r ,   θ ,   z = cos ⁡ θ -   r   s e n   θ 0 s e n   θ r cos ⁡ θ 0 0 0 1

Passo 3

Agora, fazendo o Jacobiano, basta fazermos o determinante da matriz que encontramos agora pouco:

J F r ,   θ ,   z = cos ⁡ θ -   r   s e n   θ 0 s e n   θ r cos ⁡ θ 0 0 0 1 ∴

J F r ,   θ ,   z = r cos 2 ⁡ θ + r   s e n 2   θ ∴

J F r ,   θ ,   z = r

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

D F r ,   θ ,   z = cos ⁡ θ -   r   s e n   θ 0 s e n   θ r cos ⁡ θ 0 0 0 1

J F r ,   θ ,   z = r

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