8. Considere , constante e as funções e diferenciáveis . Mostre que:
a) e
b)
c) (lembre que para qualquer dois vetores do podemos trocar a ordem no produto escalar).
d) para ou, (lembre que não podemos trocar a ordem no produto vetorial de quaisquer dois vetores do ou do )
e) para não nula, (sugestão: use
f) para não nula: ´é constante
Passo 1
a) Observe que e são funções do no . Ou seja, elas são do tipo:
Enquanto é uma função do em . Ou seja:
Então vamos verificas as igualdades:
e
Pras funções ”clássicas” sabemos que isso é verdade, o que queremos aqui é provar isso pra funções vetoriais. Vamos fazer isso calculando as matrizes Jaccobianas.
Calculando a derivada de temos:
Agora vamos calcular:
Portanto, a primeira igualdade é verdadeira. Vamos calcular agora :
Calculando temos:
A segunda igualdade está provada.
Passo 2
b) Vamos provar
Começamos calculando :
Vamos calcular agora
Portanto a igualdade é verdadeira
Passo 3
c) Vamos provar
Começamos calculando :
Vamos calcular agora
Portanto a igualdade é verdadeira.
Passo 4
d) Calculando , para :
Calculando , temos:
Ajeitando:
Portanto, prova-se que é verdadeiro.
Passo 5
Provar
Calculando temos:
Calculando vamos ter:
Começando com :
Partindo para:
Então temos:
Logo prova-se a igualdade.
Passo 6
Temos de provar para não nula: é constante
Acabamos de provar que , que é o mesmo que :
Como o módulo de é constante temos:
Onde é uma constante. Porém a derivada da constante é zero, então temos:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)