Exercícios Resolvidos de Derivadas - Matriz Jacobiana

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Enunciado

Calcule a integral

∫ a b ' ∙ a + b ∙ a ' + a ' b ∙ a   d t

Onde a ' e b ' são as derivadas das funções vetoriais a e b com respeito a t .

Passo 1

Hum, nessa questão aqui a gente tem que estar bem ligado nas propriedades de derivadas de funções vetoriais.

Vamos analisando isso por partes, começando pelo que está dentro do primeiro parênteses.

b ' ∙ a + b ∙ a '

Aqui temos a derivada de b escalar a + derivada de a escalar b . Isso te lembra algo?!

Derivada do produto escalar entre duas funções. Ou seja,

b ' ∙ a + b ∙ a ' = d d t b ∙ a

Passo 2

Beleza, substituindo esse resultado do passo 1 na expressão da integral, ficamos com:

∫ a d d t b ∙ a + a ' b ∙ a   d t

Opa, mas veja só como aqui não temos a mesma situação que tínhamos no passo 1: derivada de um termo vezes o segundo termo + derivada do segundo termo vezes o primeiro termo. Ou seja, temos uma outra regra de derivada do produto.

Assim

a d d t b ∙ a + a ' b ∙ a = d d t a b ∙ a

Passo 3

Substituindo isso na integral, ficamos com:

∫ a b ' ∙ a + b ∙ a ' + a ' b ∙ a   d t = ∫ d d t a b ∙ a   d t

Oras, mas fazer integral da derivada é só simplificar uma coisa com a outra, pois são operações ‘contrárias’, assim:

∫ d d t a b ∙ a   d t = a b ∙ a + C

Onde C é uma constante que surge quando fazemos uma integral indefinida, beleza?

Resposta

∫ a b ' ∙ a + b ∙ a ' + a ' b ∙ a   d t = a b ∙ a + C

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