Exercícios Resolvidos de Equação exponencial e logarítmica

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Enunciado

Encontre, se existir, o valor de x que satisfaça:

log 2 ⁡ ( 5 x + 2 ) - log 4 ⁡ 5 = log 2 ⁡ ( x )

Passo 1

Faala ae!! Beleza??

Então, se liga, para resolver essa equação, a primeira coisa que temos que verificar é a condição de existência desses logaritmos!

Olhando para log 2 ⁡ ( 5 x + 2 ) , temos que:

5 x + 2 > 0

Certo? Isso porque não temos logaritmo de número negativo, lembra? Com isso, temos:

5 x + 2 > 0

5 x > - 2

x > - 2 5

Beleza?? No segundo logaritmo, temos todas as condições atendidas já. Mas no último log 2 ⁡ ( x ) , para que esse logartimo exista, x > 0 , certo?? Portanto, juntando essa informação com a do primeiro logaritmo:

x > - 2 5

E:

x > 0

Bom, você concorda comigo que se x > 0 , ele já atende as duas condições?? Isso porque - 2 / 5 é um número negativo e qualquer número positivo já é maior que ele, certo?? Então, só precisamos que:

x > 0

Passo 2

Beleza, agora podemos resolver a equação:

log 2 ⁡ 5 x + 2 - log 4 ⁡ 5 = log 2 ⁡ x

Primeira coisa para fazer as contas é passar tudo para a mesma base. Então, repare que o único logaritmo na base diferente de 2 é log 4 ⁡ 5 . Vamos passar ele para base 2, então:

log 4 ⁡ 5 = log 2 ⁡ ( 5 ) log 2 ⁡ ( 4 )

Foi? Só que sabemos que 2 2 = 4 , né? Então, qual o valor de log 2 ⁡ ( 4 ) ? Só se perguntar “quanto devemos elevar o 2 para dar 4 ?” A resposta já foi até dada, pois 2 2 = 4 , logo, log 2 ⁡ ( 4 ) = 2 . Assim:

log 4 ⁡ 5 = log 2 ⁡ ( 5 ) 2

Substituindo isso:

log 2 ⁡ 5 x + 2 - log 2 ⁡ ( 5 ) 2 = log 2 ⁡ x

Passo 3

Agora vamos dar uma “brincada” com as contas. Primeiro, vamos multiplicar tudo por 2:

2 log 2 ⁡ 5 x + 2 - log 2 ⁡ ( 5 ) = 2 log 2 ⁡ x

Usando a propriedade do log de passar o coeficiente que mutiplica como expoente do logaritmando:

2 log 2 ⁡ 5 x + 2 = log 2 ⁡ 5 x + 2 2

E:

2 log 2 ⁡ x = log 2 ⁡ x 2

Assim:

log 2 ⁡ 5 x + 2 2 - log 2 ⁡ ( 5 ) = log 2 ⁡ x 2

Hmmmm, lembra que a substração entre dois logs pode ser reescrita como uma divisão:

log a ⁡ b - log a ⁡ c = log a ⁡ b c

Lembra? Vamos usar isso:

log 2 ⁡ 5 x + 2 2 - log 2 ⁡ ( 5 ) = log 2 ⁡ 5 x + 2 2 5

Dessa forma:

log 2 ⁡ 5 x + 2 2 5 = log 2 ⁡ x 2

Agora simm, já que temos a mesma base nos dois logs, podemos desconsiderar eles e igualar apenas os logaritmandos:

5 x + 2 2 5 = x 2

Agora virou uma equação que já estamos mais acostumados.

Passo 4

Vamos resolver essa equação:

5 x + 2 2 5 = x 2

Podemos passar o 5 multiplicando:

5 x + 2 2 = 5 x 2

E, abrindo o produto notável:

25 x 2 + 20 x + 4 = 5 x 2

25 x 2 - 5 x 2 + 20 x + 4 = 0

2 0 x 2 + 20 x + 4 = 0

Opa, equação do segundo grau, amém! Bháskara neles!!

- 20 ± 20 2 - 4 20 4 2 20 = - 20 ± 400 - 320 40 =

= - 20 ± 80 40

Fatorando 80 , vamos chegar que 80 = 16 × 5 = 2 4 × 5 . Logo:

= - 20 ± 2 4 ( 5 ) 40 = - 20 ± 2 2 5 40 = - 20 ± 4 5 40

Beleza?? Agora, achando as duas raízes:

x 1 = - 20 + 4 5 40 = - 5 + 5 10

A gente pode perceber que 5 < 5 , certo? Então, temos que esse numerador será negativo! No caso, - 5 + 5 ≈ - 2,764 . Então:

x 1 < 0

E ele não pode ser nossa solução! Isso porque achamos, lá no passo 1, que x > 0 . Vamos ver a segunda raiz:

x 2 = - 20 - 4 5 40 = - 5 - 5 10

Bom, também, podemos ver que o numerador será negativo de novo, né... Agora, - 5 - 5 ≈ - 7,236 . E, pelo mesmo motivo da raiz anterior, esse valor não pode ser uma solução da equação.

E agora??? O que acontece? Não temos solução? É isso mesmo?! Sim ☹. Isso pode acontecer em diversos problemas que encaramos. Nem tudo tem solução, infelizmente. Maaasss isso não necessariamente é ruim, também, ok? Então, relaxa, o que importa é que resolvemos esse problema! 😊 E encontramos que ele não tem solução!

Resposta

Não existe solução para essa equação.

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