Exercícios Resolvidos de Equação exponencial e logarítmica

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Enunciado

  1. Sobre a equação 7 x - 2.7 2 - x = 47

Pode-se afirmar que:

  1. Não possui solução real;
  2. Possui única solução real;
  3. Possui duas soluções reais;
  4. Possui três soluções reais;
  5. Possui infinitas soluções reais.

Passo 1

Fala aí pessoal! Nos deparamos com essa equação doida aqui:

7 x - 2.7 2 - x = 47

Que é uma equação exponencial! A maneira que a gente vai resolver essa equação é tentando simplificar ao máximo a cara dela, tentar buscar as mesmas bases e ver e cair em uma equação melhor de resolver. Partiuuu!

Olha, uma coisa que já dá para fazer é separar aquele segundo 7 ( … ) usando que a b - c = a b a - c :

7 x - 2.7 2 7 - x = 47

Ou, passando tudo para o mesmo lado e resolvendo os produtos temos:

7 x - 98 . 7 - x - 47 = 0

Se a gente multiplicar todo mundo por 7 x temos

7 x 2 - 98 - 47 . 7 x = 0

Ou melhor

7 x 2 - 47 .   7 x - 98 = 0

E agora hein? O que a gente faz??

Passo 2

Bom, em vez de resolver a equação para x a gente pode perceber que se chamarmos

u =   7 x

A nossa equação fica assim:

u 2 - 47 . u - 98 = 0

OPAA!! Agora a gente tem uma equação do segundo grau! O que a gente faz agora é resolver essa equação do segundo grau para u e depois a gente lembra que u = 7 x e encontra o x .Ah! Uma coisa que a gente já pode ter em mente é que com a cara do u a gente não pode ter u < 0 . Pois nunca vamos encontrar 7 x < 0 . Beleza?

Passo 3

Agora a gente resolve essa equação do segundo grau aqui

u 2 - 47 . u - 98 = 0

Usando qualquer uma das técnicas que você achar melhor. Usando a fórmula de Bhaskara a gente encontra duas soluções

u = 49 u =   - 2  

Como a gente já discutiu, a gente não pode ter u negativo então o resultado de u tem que ser 49.

Usando a forma que a gente chamou o u temos

u = 7 x = 49

Escrevendo 49 como 7 2 temos

7 x = 7 2

Como temos a mesma base em ambos os lados a gente iguala os expoentes

x = 2 x = 4

Ou seja, a nossa equação possui apenas uma única solução!

E aí resolvemos esse problema 😊 Vamos para a próxima?

Resposta

Letra b.

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