Exercícios Resolvidos de Equação exponencial e logarítmica

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Enunciado

Se log b 2 ⁡ x + log x 2 ⁡ b = 1 , então x é igual a

É igual a:

  1. 1 / b 2
  2. 1 / b
  3. b 2
  4. b
  5. b

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui!

O problema pediu para encontrarmos uma solução para essa equação aqui

log b 2 ⁡ x + log x 2 ⁡ b = 1

Mas calma! Temos uma equação logarítmica! Mas a princípio não podemos igualar os logs e cortar porque eles têm bases diferentes! Então como fazer?

Usando mudança de variável:

y = log b ⁡ x

E aí vamos resolver uma equação em y ! Vou te mostrar que fica bem mais fácil assim!

Mas pra isso vamos precisar lembrar de algumas propriedades dos logaritmos!

Relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa equação é

log b 2 ⁡ x + log x 2 ⁡ b = 1

Antes de mais nada vamos aplicar uma propriedade louca de especial!

log b n ⁡ a = 1 n log b ⁡ a

aí nossa equação fica:

1 2 log b ⁡ x + 1 2 log x ⁡ b = 1

E podemos multiplicar tudo por 2 :

log b ⁡ x + log x ⁡ b = 2

x tanto na base, tanto no logaritmando, então ainda precisamos manipular mais um pouquinho!

Para termos apenas um x , precisamos mudar de base! Vou passar para base x , então só vamos mudar a base do logaritmo mais à esquerda!

log x ⁡ x log x ⁡ b + log x ⁡ b = 2

E lembrando que log a ⁡ a = 1 , nossa equação fica assim

1 log x ⁡ b + log x ⁡ b = 2

E agora sim podemos fazer a seguinte mudança de variáveis:

y = log x ⁡ b

1 y + y = 2

E multiplicar tudo por y :

1 + y 2 = 2 y

y 2 - 2 y + 1 = 0

Olha só! Chegamos em uma equação de segundo grau!

E daqui vamos encontrar duas raízes:

y = - ( - 2 ) ± ( - 2 ) 2 - 4 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) = 2 ± 0 2 = 1

Beleza?

Passo 3

x !

Nossa mudança de variáveis era assim

y = log x ⁡ b

Achamos uma única solução y = 1 , então

1 = log x ⁡ b

E agora? Agora é só aplicar a definição!

x 1 = b

x = b

E é essa resposta! Letra (D)

E é isso!

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

( D )

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