Exercícios Resolvidos de Equação exponencial e logarítmica

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Enunciado

Reescreve as identidades abaixo utilizando logaritmos.

a )   5 3 = 125

b )   10 - 4 = 0,0001

c )   10 3 = 1000

d )   81 1 2 = 9

e )   8 - 1 = 1 8

f )   2 - 3 = 1 8

Passo 1

Ooi gente, todo mundo numa boa por aí? Vamo matar essa questãozita!

Nesse exercício nos foram dados várias igualdades relacionadas a exponenciais. O objetivo é que apliquemos as propriedades dos logaritmos para reescrever essas identidades.

Então, antes de começar vamos dar uma revisada nas propriedades mais importantes que vamos utilizar:

1 )   lo g a ⁡ a = 1

2 ) log a ⁡ b k = k ⋅ log a ⁡ b

Essas são as propriedades mais importantes! A ideia é aplicar o logaritmo em um base conveniente dos dois lados de cada uma dessas igualdades. A partir disso, essas propriedades ficarão evidentes pra gente!

Vem comigo que vai ficar mais claro.

Passo 2

Começando pelo item a ) , temos a igualdade:

5 3 = 125

Como queremos reescrever essa igualdade, devemos aplicar o logaritmo dos dois lados. Já pensando em utilizar a propriedade 1 ) , podemos aplicar o logaritmo na base 5 . Assim:

log 5 ⁡ 5 3 = log 5 ⁡ 125

Pela propriedade 2 ) , vem:

3 ⋅ log 5 ⁡ 5 = log 5 ⁡ 125

Por 1 ) , vamos finalmente ter:

3 = log 5 ⁡ 125

Passo 3

No item b ) , temos:

10 - 4 = 0,0001

Novamente pensando na propriedade 1 ) , podemos aplicar em ambos os lados da igualdade o logaritmo na base 10 . Assim:

log 10 ⁡ 10 - 4 = log 10 ⁡ 0,0001

Usando a propriedade 2 ) , vem:

- 4 ⋅ log 10 ⁡ 10 = log 10 ⁡ 0,0001

Usando a propriedade 1 ) , vem:

- 4 = log 10 ⁡ 0,0001

Excelente!

Passo 4

No item c ) , temos:

10 3 = 1000

Aplicando o logaritmo na base 10 dos dois lados da igualdade:

log 10 ⁡ 10 3 = log 10 ⁡ 1000

Por 2 ) :

3 ⋅ log 10 ⁡ 10 = log 10 ⁡ 1000

Por 1 ) :

3 = log 10 ⁡ 1000

Boaa!

Passo 5

No item d ) , temos:

81 1 2 = 9  

Para deixar nossa igualdade no mesmo formato das anteriores, podemos aplicar o logaritmo na base 9 dos dois lados da igualdade. Assim:

log 9 ⁡ 81 1 2 = log 9 ⁡ 9

Por 1 ) :

log 9 ⁡ 81 1 2 = 1

Por 2 ) :

1 2 ⋅ log 9 ⁡ 81 = 1

∴ 2 = log 9 ⁡ 81

Tamo quase acabando...

Passo 6

No item e ) , temos:

8 - 1 = 1 8

Aplicando o logaritmo na base 8 de ambos os lados, vem:

log 8 ⁡ 8 - 1 = log 8 ⁡ 1 8

Por 2 ) :

- 1 ⋅ log 8 ⁡ 8 = log 8 ⁡ 1 8

Por 1 ) :

- 1 = log 8 ⁡ 1 8

É isso aí!

Passo 7

Pra finalizar, no item f ) , temos:

2 - 3 = 1 8

Aplicando o l o g na base 2 em ambos os lados:

log 2 ⁡ 2 - 3 = log 2 ⁡ 1 8

Por 2 ) :

- 3 ⋅ log 2 ⁡ 2 = log 2 ⁡ 1 8

Por 1 ) :

- 3 = log 2 ⁡ 1 8

Prontinho gente! Com isso finalizamos a questão!

Esperto que vocês tenham entendido bem o raciocínio 😊

Resposta

a ) 3 = log 5 ⁡ 125

b ) - 4 = log 10 ⁡ 0,0001

c ) 3 = log 10 ⁡ 1000

d ) 2 = log 9 ⁡ 81

e ) - 1 = log 8 ⁡ 1 8

f ) - 3 = log 2 ⁡ 1 8

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