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Exercícios Resolvidos de Equação exponencial e logarítmica

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Exercício 512346789101112131415161718

Enunciado

Resolva:

4 x ⋅ 8 y = 1 4 9 x ⋅ 27 2 y = 3

Passo 1

Vamos ver equação por equação aqui. Para a primeira, vamos deixa tudo em base 2 : 4 = 2 2

8 = 2 3

1 4 = 4 - 1 = 2 2 - 1 = 2 - 2

Assim, podemos reescrever:

4 x ⋅ 8 y = 1 4 ⟹ 2 2 x ⋅ 2 3 y = 2 - 2

Distribuindo e lembrando que:

b a ⋅ b c = b a + c

Temos:

2 2 x ⋅ 2 3 y = 2 - 2 ⟹ 2 2 x ⋅ 2 3 y = 2 - 2 ⟹ 2 2 x + 3 y = 2 - 2

Uma vez que está tudo na mesma base, podemos considerar somente os expoentes:

2 x + 3 y = - 2

Vamos deixar o y em relação a x :

3 y = - 2 - 2 x ⟹ y = - 2 3 x + 1

Passo 2

Até aqui, ok? Então vamos substituir o valor de y na segunda equação:

9 x ⋅ 27 2 y = 3 ⟹ 9 x ⋅ 27 - 4 3 x + 1 = 3

E vamos deixar tudo na mesma base 3 , com: 9 = 3 2

27 = 3 3

Gerando:

9 x ⋅ 27 - 4 3 x + 1 = 3 ⟹ 3 2 x ⋅ 3 3 - 4 3 x + 1 = 3 ⟹ 3 2 x ⋅ 3 - 4 x + 1 = 3

E:

3 2 x ⋅ 3 - 4 x + 1 = 3 ⟹ 3 2 x - 4 x - 4 = 3 ⟹ 3 - 2 x - 4 = 3 1

Como temos a mesma base, podemos considerar somente os expoentes:

- 2 x - 4 = 1 ⟹ 2 x + 4 = - 1 ⟹ 2 x = - 5 ⟹ x = - 5 2

Passo 3

Legal, encontramos x . Agora voltamos a relação entre x e y para achar o segundo:

y = - 2 3 x + 1 = - 2 3 - 5 2 + 1 = - 2 3 - 3 2 = 3 3 = 1

Finalmente!

Resposta

x = - 5 2 ,   y = 1

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