18. O número de soluções de no intervalo é:
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? O problema nos forneceu a seguinte expressão,
E precisamos achar quantas soluções possíveis existem para ela, ou seja, quantos valores pode assumir.
Para isso, vamos precisar lembrar de algumas relações trigonométricas!
Bora lá!
Passo 2
Vamos começar mexendo um pouco na expressão e deixando tudo de uma lado só,
Para facilitar o nosso entendimento, vamos chamar
Com isso, ficamos com
Opaaa, galerinha! Essa fórmula me lembra a subtração de senos. Para quem não ela é tem essa relação aqui:
Ou seja, podemos dizer que a nossa expressão é
Agora vamos substituir quem é e e calcular com mais facilidade.
Passo 3
Substituindo,
Ficamos com
Ajeitando o termo dentro do seno,
Agora vamos calcular os possíveis valores de .
Passo 4
Então, galerinha, temos que lembrar quando o nosso seno zera!
Ele zera, quando em
Logo,
Como esse valor não está no intervalo de , não podemos considerálo.
Mas, galerinha, o seno também zera em
Logo,
Isolando ,
Logo, para , o nosso seno irá zerar.
E para , teríamos
Cujo o seno é zero.
Então temos duas soluções possíveis.
Prontinho!