17. Seja x = cos(π/8) + cos(7π/8) + cos(9π/8) + cos(15π/8) . O valor de x é:

  1. cos(π/8)
  2. sen(π/8)
  3. 1
  4. 0
  5. Nenhuma das outras respostas.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Nessa questão temos uma soma de cossenos para calcular. Mas, repara, que todos os ângulos são dados por n π 8 , onde é um número inteiro impar.

Então para saber quanto vale cada cosseno vamos ter que olhar para círculo trigonométrico:

Agora precisamos saber qual volta foi dada em cada ângulo e identificar quanto vale o cosseno.

Bora lá!

Passo 2

Começando por π 8

Note que arbitramos um valor a para esse cosseno. Logo: cos ⁡ π 8 = a

Passo 3

Para o ângulo 7 π 8 , podemos dizer que ele andou π 8 + 3 π 4 . Dando essa volta no nosso círculo, ficamos com,

Repara que ficamos com o mesmo ângulo em relação a x só que negativo. Logo: cos ⁡ 7 π 8 = - a

Passo 4

Para o ângulo 9 π 8 , podemos dizer que ele andou π 8 + π . Dando essa volta no nosso círculo, ficamos com,

Repara que ficamos com o mesmo ângulo em relação a x só que negativo e no terceiro quadrante. Logo: cos ⁡ 9 π 8 = - a

Passo 5

Por fim, o ângulo 15 π 8 , podemos dizer que ele andou π 8 + 7 π 4 . Dando essa volta no nosso círculo, ficamos com,

Repara que retornamos para x positivo, só que no quarto quadrante. Logo: cos ⁡ 15 π 8 = a

Passo 6

Somando tudo, ficamos com

x = cos ⁡ π 8 + cos ⁡ 7 π 8 + cos ⁡ 9 π 8 + cos ⁡ 15 π 8

x = a - a - a + a

x = 0

Prontinho!

Resposta

d

Exercícios Resolvidos de Funções Trigonométricas – Parte 2

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