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Exercícios Resolvidos de Funções Trigonométricas – Parte 2

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Exercício 2012345678910111213141516171819

Enunciado

20. Simplificando a expressão cos ⁡ α - sin ⁡ α cos ⁡ α + sin ⁡ α obtemos

  1. cos ⁡ 2 α 1 + sin ⁡ α
  2. cos ⁡ 2 α 1 + sin ⁡ 2 α
  3. cos ⁡ α 1 + sin ⁡ α
  4. cos ⁡ 2 α 1 + sin ⁡ 2 α
  5. 1 cos ⁡ 2 α + 1 sin ⁡ 2 α

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos simplificar a expressão

cos ⁡ α - sin ⁡ α cos ⁡ α + sin ⁡ α

Ou seja, vamos aplicar o nosso conhecimento sobre algumas relações trigonométricas e deixar essa expressão com outra cara.

Bora lá!

Passo 2

Galerinha, vamos começar lembrando da nossa identidade trigonométrica maisa famosa:

sin 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ α = 1

Mas repara que aqui temos uma soma de termos ao quadrado e a expressão dada não está. Então vamos multiplicar por ( cos ⁡ α + sin ⁡ α ) em cima e embaixo para ver se conseguimos simplificar a expressão

cos ⁡ α - sin ⁡ α cos ⁡ α + sin ⁡ α = cos ⁡ α - sin ⁡ α cos ⁡ α + sin ⁡ α . cos ⁡ α + sin ⁡ α cos ⁡ α + sin ⁡ α

cos ⁡ α - sin ⁡ α cos ⁡ α + sin ⁡ α = cos 2 ⁡ α - sin 2 ⁡ α cos 2 ⁡ α + 2 cos ⁡ α sin ⁡ α + sin 2 ⁡ α

Ajeitando a função e aplicando a identidade trigonométrica, ficamos com

cos ⁡ α - sin ⁡ α cos ⁡ α + sin ⁡ α = cos 2 ⁡ α - sin 2 ⁡ α 1 + 2 cos ⁡ α sin ⁡ α

Repara que só conseguimos aplicar a identidade trionometrica no denominador, pois no numerador o cosseno ao quadrado e seno ao quadrado estão subtraindo. Mas será que existe uma outra identidade trigonométrica para essa relação?

Passo 3

Então, galerinha, agora vamos olhar para outra identidade trigonométrica, que é justamente aquela de quando o seno e cosse ao quadrado estão subtraindo,

cos 2 ⁡ α - sin 2 ⁡ α = cos ⁡ 2 α

Sendo assim, podemos simplicar a nossa função ainda mais,

cos ⁡ α - sin ⁡ α cos ⁡ α + sin ⁡ α = cos ⁡ 2 α 1 + 2 cos ⁡ α sin ⁡ α

Passo 4

Agora vamos cuidar da parte 2 cos ⁡ α sin ⁡ α que está no nosso denominador!

Galerinha, nós temos um seno multiplicado por um cosseno, e isso me lembra o seno da soma de dois ângulos. Para quem não lembra, ela diz

sin ⁡ a + b = sin ⁡ a cos ⁡ b + sin ⁡ b cos ⁡ a

Considerando que

a = b = α

Teriamos

sin ⁡ 2 α = sin ⁡ α cos ⁡ α + sin ⁡ α cos ⁡ α

sin ⁡ 2 α = 2 sin ⁡ α cos ⁡ α

Opaaa! Podemos então substituir essa igualdade na nossa expressão

cos ⁡ α - sin ⁡ α cos ⁡ α + sin ⁡ α = cos ⁡ 2 α 1 + sin ⁡ 2 α

Prontinho!

Resposta

d

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30. Em cada parte , esboce o gráfico e verifique seu trabalho com um recurso computacional. f x = 3 arcsin ⁡ x 2 . f x = arccos ⁡ x - π 2 . f x = 2 arctan ⁡ - 3 x . f x = arccos ⁡ x + arcsin ⁡ x .
Prove que:
Utilize o resultado do exercício 59 para mostrar que:
Prove que:
29. Em cada parte encontre o valor numérico exato da expressão dada: cos ⁡ arccos ⁡ 4 5 + arcsin ⁡ 5 13 . sin ⁡ arcsin ⁡ 4 5 + arccos ⁡ 5 13.