Exercícios Resolvidos de Escalonamento

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Enunciado

Considere as seguintes afirmações:

I Se o conjunto u → , v → , w → é linearmente independente, então o conjunto u → + v → , v → + w → ,   u → + w → também é linearmente independente.

I I Se U = u 1 , … , u l e W = w 1 , … , w k são dois conjuntos linearmente dependentes, então podemos ter U ∩ W linearmente independente.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

Passo 1

Afirmativa I :

Verdadeira. Repare que o segundo conjunto foi obtido fazendo combinações lineares com o primeiro conjunto. Tipo assim:

← u → → ← v → → ← w → → → L 1 ← L 1 + L 2 ← u → + v → → ← v → + w → → ← w → → → L 2 ← L 2 + L 3 ← u → + v → → ← v → + w → → ← w → → → L 3 ← 2 L 3 + L 1 - L 2 ← u → + v → → ← v → + w → → ← u → + w → →

Assim como quando escalonamos uma matriz, esses tipos de operação não alteram o fato de um conjunto ser ou não linearmente independente.

Passo 2

Afirmativa I I :

Completamente verdadeira. Não temos nenhuma limitação nesses conjuntos então nada impede que sua interseção seja L I . Por exemplo:

U = 1,1 , 0 , 2,2 , 0

W = 1,1 , 0 , 3,3 , 0

U ∩ W = 1,1 , 0

Como podemos ver U e W são L D , mas U ∩ W é L I ! Foi um contraexemplo meio besta, mas quanto mais besta o contraexemplo mais fácil é de pensar nele na hora da prova haha.

Resposta

Letra ( c ) .

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