Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n . Considere as seguintes afirmações:

I Se A ~ B através de uma operação que substitui uma linha por uma soma entre outras linhas, então det ⁡ A = det ⁡ B .

I I det ⁡ α A = α n det ⁡ A , para todo α ∈ R .

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

Passo 1

Afirmativa I :

A operação que não altera o determinante é do tipo:

L i ← L i + λ L j ,   λ ∈ R

É uma soma que envolve a linha que está sendo substituída! Na afirmativa ele fala sobre substituir uma linha por uma soma entre outras linhas, ou seja, dá a entender que a linha que estamos substituindo não aparece nessa soma. Então isso altera sim o determinante! Falsa.

Afirmativa I I :

Sabemos que quando multiplicamos alguma linha da matriz por um escalar α ∈ R , seu determinante também é multiplicado por α . Então, se multiplicarmos todas as n linhas de uma matriz por α , seu determinante vai ser multiplicado por α n ! Verdadeira.

Resposta

Letra ( d ) .

Exercícios Resolvidos de Determinantes e Escalonamento

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