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Exercícios Resolvidos de Soma da Dimensão de Subespaços

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Exercício 15123456789101112131416171819

Enunciado

A2 T6 T9

Seja V um espaço vetorial de dimensão n . Considere as seguintes afirmações:

I Dados dois subespaços de V , a soma de suas dimensões não pode ser maior que n .

I I Existem conjuntos linearmente dependentes e geradores de V com n vetores.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

( a ) A afirmativa I é falsa e I I é falsa.

( b ) A afirmativa I é falsa e I I é verdadeira.

( c ) A afirmativa I é verdadeira e I I é falsa.

( d ) A afirmativa I é verdadeira e I I é verdadeira.

Passo 1

Afimativa I :

O problema nessa afirmativa é mais o português do que a álgebra haha. Dados dois subespaços de V , a dimensão da soma dos subspaços não pode ser maior que n ! Mas a soma das dimensões pode sim ser maior que n !!!! Tanto que a fórmula é a seguinte, sejam H e U subespaços de V :

dim ⁡ H + U = dim ⁡ H + dim ⁡ U - dim ⁡ H ∩ U

O que não pode ser maior que n é dim ⁡ H + U ! Mas dim ⁡ H + dim ⁡ U pode ser maior que n sem problemas. Então essa é falsa.

Passo 2

Falsa também. Se V tem dimensão n , e temos um conjunto de n vetores que gera V , então esse conjunto necessariamente é uma base de V . E uma base, como sabemos, é um conjunto L I , não L D .

Resposta

Letra ( a )

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Sendo W o sub-espaço do exercício 1 e U o sub-espaço do R 4 gerado por 1 ,2 ,1 ,3 e ( 3 ,1 ,- 1 ,4 ) , determinar uma base e a dimensão de U + W e de U ∩ W .
Suponha que { u 1 , … ,u n } é uma base de um espaço vetorial. Mostrar que { u 1 ,u 1 + u 2 , … ,u 1 + u 2 + … + u n } também é uma base desse espaço.
Determinar a dimensão dos seguintes subespaços de M n ( R ) :Subespaço da matrizes simétricas;Subespaço das matrizes antissimétricas.Subespaço das matrizes A tais que A = 2 A t .Subespaço das matrizes
No espaço vetorial R 3 consideremos os seguintes sub-espaços: U = x ,y ,z x = 0 , V = x ,y ,z y - 2 z = 0e W = 1 ,1 ,0 ,0 ,0 ,2 . Determinar uma base e a dimensão de cada um dos seguintes sub-espaços: