P2 de Álgebra Linear da UFRJ - 2016.1

Os autovalores da matriz são:

e

e

e

e

Calcule a soma dos módulos dos autovalores da matriz

Seja e seja um autovetor de associado ao autovalor . Se , quanto vale ?

O sistema abaixo possui solução única qualquer que seja o vetor do lado direito.

Assinale o vetor que produz o menor valor para a soma , onde é a solução do sistema acima:

Seja uma matriz tal que o vetor é solução do sistema , onde , e o vetor é solução do sistema , onde . Assinale uma solução do sistema , onde .

Seja Assinale o valor de para que o núcleo de tenha dimensão igual a .

Deseja-se construir uma matriz de forma que o produto seja uma matriz satisfazendo as condições abaixo, qualquer que seja a matriz .

A primeira linha de deve ser igual à soma das linhas de .

A segunda linha de deve ser igual à diferença entre as linhas de e

A terceira linha de deve ser igual ao triplo da primeira linha de menos o dobro da segunda linha de .

Qual é a soma de todos os elementos da matriz ?

Seja uma matriz e uma forma escalonada de . Se possui pivôs, então:

A dimensão do Núcleo de é

A dimensão da Imagem de é

é verdadeira e é falsa.

é verdadeira e é verdadeira.

é falsa e é falsa.

é falsa e é verdadeira.

Seja um autovetor da matriz associado ao maior dos autovalores de . Então vale:

Assinale uma matriz de rotação de graus em torno do eixo em :

Considere as afirmativas abaixo:

Existe uma matriz cujo núcleo é a reta e cuja imagem é o plano

Existe uma matriz cujo núcleo é a reta e cuja imagem é a reta

é verdadeira e é verdadeira.

é verdadeira e é falsa.

é falsa e é verdadeira.

é falsa e é falsa.

Seja uma matriz , cujos autovetores estão nos eixos coordenados. Sabe-se que os autovalores associados e podem ser , ou . Indicar quantas matrizes diferentes podemos obter.

Uma matriz é conhecida parcialmente (apenas algumas de suas entradas):

Se , assinale um autovalor de :

Seja uma transformação linear tal que e . Todas as afirmativas abaixo são necessariamente verdadeiras, à exceção de:

não é injetiva.

é sobrejetiva.

Calcule a projeção ortogonal do vetor na reta definida pelo vetor :

Seja uma matriz com um autovalor igual a e outro igual a , então:

1. Existe um vetor tal que
2. Existe um vetor tal que

é falsa e é verdadeira.

e são falsas.

é verdadeira e é falsa.

e são verdadeiras.