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Exercícios Resolvidos de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

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Enunciado

A2 T24 T23 T22

Seja A uma matriz 5 × 4 e R uma forma escalonada de A . Se R possui 3 pivôs, então:

I A dimensão do Núcleo de A é 1

I I A dimensão da Imagem de A é 3

a   I é verdadeira e I I é falsa.

b   I é verdadeira e I I é verdadeira.

c   I é falsa e I I é falsa.

d   I é falsa e I I é verdadeira.

Passo 1

I Se escalonamos uma matriz, a dimensão do seu núcleo será o número de variáveis livres. Ou seja, o número de variáveis menos o número de linhas não zeradas. Nesse caso, temos 3 linhas não zeradas (já que temos 3 pivôs) e temos 4 variáveis ( 4 colunas). Logo a dimensão do nosso núcleo é:

dim ⁡ N u c A = 4 - 3 = 1

Afirmação verdadeira.

Passo 2

I I Como já temos a dimensão do núcleo é só usarmos o T N I para achar a da imagem! Se nossa matriz é 5 × 4 , seu domínio é o R 4 , então:

dim ⁡ N u c A ⏟ 1 + dim ⁡ I m A = dim ⁡ D o m A ⏟ 4

dim ⁡ I m A = 3

Também poderíamos analisar levando em conta que o número de linhas ou colunas não zeradas depois do escalonamento representa justamente a dimensão da imagem. Que no caso é 3 já que temos 3 pivôs.

Afirmativa correta.

Resposta

Letra b