A5 T1
Uma matriz é conhecida parcialmente (apenas algumas de suas entradas):
Se , assinale um autovalor de :
Passo 1
Beleza, presta atenção que essa questão tem um pulo do gato pra resolver. Se uma matriz é então, pelo :
Mas ele também deu a dimensão do núcleo:
Beleza, temos a dimensão da imagem. Mas o que é a imagem? É o espaço gerado pelas colunas da matriz! E a dimensão da imagem é justamente o número de colunas da matriz!
Mas como nossa imagem tem dimensão , então só podemos ter uma coluna . Ou seja, as colunas são múltiplas uma das outras! Sabendo disso podemos completar nossa matriz:
Passo 2
Agora podemos achar os autovalores! Só que não, você vai perder muito tempo nisso! É aqui que entra o segundo pulo do gato haha. Sabemos que como a dimensão do núcleo é , a matriz tem um autoespaço de dimensão associado ao autovalor correto?
Logo, se pegarmos o polinômio característico da matriz, o será raiz “duas vezes”. Ou seja, ele é um autovalor com multiplicidade ! Isso quer dizer que só temos espaço para mais um autovalor que deve estar entre as opções (já que nossa matriz é só pode ter autovalores)!
Ta, e aonde você quer chegar com isso? Bom, sabemos que o traço da matriz é a soma de seus autovalores, então:
E com isso, achamos a resposta sem conta nenhuma haha, muito bom né?
Resposta
Letra