O sistema abaixo possui solução única qualquer que seja o vetor a , b , c , d do lado direito.

4 x - 3 y     = a - x + y     = b     2 z - 5 w = c     - z + 3 w = d

Assinale o vetor a , b , c , d que produz o menor valor para a soma x + y + z + w , onde x , y , z , w é a solução do sistema acima:

a   1,1 , 1,1

b   1 , - 1 , - 1,1

c   1 , - 1,1 , - 1

d   1,1 , - 1 , - 1

Passo 1

A matriz aumentada que representa esse sistema é a seguinte:

4 - 3 0 0 - 1 1 0 0 0 0 2 - 5 0 0 - 1 3 a b c d

Vamos escalonar completamente isso aí:

4 - 3 0 0 - 1 1 0 0 0 0 2 - 5 0 0 - 1 3 a b c d → L 1 ← L 1 4 1 - 3 4 0 0 - 1 1 0 0 0 0 2 - 5 0 0 - 1 3 a 4 b c d → L 2 ← L 2 + L 1 1 - 3 4 0 0 0 1 4 0 0 0 0 2 - 5 0 0 - 1 3 a 4 b + a 4 c d

→ L 1 ← L 1 + 3 L 2 1 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 2 - 5 0 0 - 1 3 a + 3 b b + a 4 c d → L 2 ← 4 L 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 - 5 0 0 - 1 3 a + 3 b 4 b + a c d → L 3 ← L 3 2

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 - 5 2 0 0 - 1 3 a + 3 b 4 b + a c 2 d → L 4 ← L 4 + L 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 - 5 2 0 0 0 1 2 a + 3 b 4 b + a c 2 d + c 2 → L 3 ← L 3 + 5 L 4

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 a + 3 b 4 b + a 3 c + 5 d d + c 2 → L 4 ← 2 L 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 a + 3 b 4 b + a 3 c + 5 d 2 d + c

Agora temos o sistema: x = a + 3 b y = a + 4 b z = 3 c + 5 d w = c + 2 d

Somando todas as equações:

x + y + z + w = 2 a + 7 b + 4 c + 7 d

Passo 2

O valor de a , b , c , d que minimiza essa soma certamente é o 1 , - 1,1 , - 1 que possui o - 1 multiplicando os maiores coeficientes ;)

Resposta

Letra c

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