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Exercícios Resolvidos de Elevando Matrizes a Expoentes Reais

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Exercício 1612345678910111213141517181920212223242526

Enunciado

A5 T9

Seja A uma matriz 2 × 2 , cujos autovetores estão nos eixos coordenados. Sabe-se que os autovalores associados λ 1 e λ 2 podem ser 1 , 0 ou - 1 . Indicar quantas matrizes diferentes A 2 = A A podemos obter.

a   8

b 4

c   2

d   1

Passo 1

Lembra o que fazemos para elevar raízes? Primeiro nós diagonalizarmos ela:

A = P D P - 1

Como queremos o quadrado de A , basta elevarmos a matriz diagonal de autovalores por 2 também:

A 2 = P D 2 P - 1

Passo 2

Próximo passo, o enunciado fala que os autovetores são os eixos coordenados. A única coisa que importa daí é que os autovetores são fixos! Então as matrizes P e P - 1 não mudam ;)

Dito isso, vemos que o número de matrizes A 2 diferentes será igual ao número de matrizes D 2 diferentes! Então vamos analisar nossa D :

D = λ 1 0 0 λ 2

D 2 = λ 1 2 0 0 λ 2 2

Repare que - 1 2 = 1 2 = 1 , logo, nossas matrizes D 2 possíveis são:

1 0 0 1 , 0 0 0 0 , 0 0 0 1 , 1 0 0 0

Como temos 4 possibilidades para a matriz D 2 , teremos 4 possibilidades para a matriz A 2 .

Resposta

Letra b

Exercícios de Livros Relacionados

Um operador T é chamado nilpotente se T k = 0 , a transformação linear nula, para algum inteiro positivo k. Demonstre que se T e nilpotente, então o único autovalor de Te0 .
Seja T : V → V um operador linear. Mostre que se w é um subespaço T-invariante, então 𝕨 é:a) T k -invariante, para todo inteiro positivo k e b) p ( T ) -invariante, para todo polinômio p ( T ) .