P2 de Álgebra Linear da UFRJ - 2019.2

Seja

Então vale:

1. .
2. .
3. .
4. .

é uma cujas colunas geram um espaço de dimensão igual a . Qual é a dimensão do Núcleo de ?

1. .
2. .
3. .
4. .

Seja uma matriz . Considere as afirmativas:

1. pode ser maior do que .
2. pode ser igual a .

1. (I) é falsa e (II) é falsa.
2. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
3. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
4. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Considere o sistema:

Seu conjunto-solução é igual a translação de um sub-espaço de dimensão:

1. 3
2. 2
3. 4
4. 1

Questão Extra.

Seja uma matriz com e seja um vetor de . Considere as afirmativas:

1. Se , então   é autovetor de .
2. Se , então   é autovetor de .

1. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
2. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
3. (I) é falsa e (II) é falsa.
4. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Considere uma transformação linear , um conjunto e sua imagem . Considere as afirmativas:

1. Se é linearmente independente e é injetiva então também é linearmente independente.
2. Se é gerador de e é injetiva então é gerador de .

1. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
2. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
3. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
4. (I) é falsa e (II) é falsa.

Sejam e um autovetor associado ao autovalor . Quanto vale ?

Sejam uma transformação linear. Assinale a alternativa INCORRETA:

1. O núcleo de e imagem de podem ser iguais.
2. Suponha que seja linearmente independente para um dado conjunto . Então pode-se concluir que é injetiva.
3. O núcleo de pode ter dimensão .
4. Se é injetiva então é invertível.

Considere as afirmativas:

1. Sejam e matrizes invertíveis. Se e comutam (isto é, ) então e comutam.
2. Seja uma matriz invertível. Então .

1. (I) é falsa e (II) é falsa.
2. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
3. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
4. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Sejam e transformações lineares de em , sendo injetiva e sobrejetiva. A única afirmativa que pode ser verdadeira é:

1. é a projeção ortogonal sobre .
2. é autovalor de .
3. é autovalor de .
4. é uma rotação em torno da reta

Seja a transformação linear que satisfaz e . A matriz que representa é:

1. .
2. .
3. .
4. .

Sejam matrizes ; sejam vetores não nulo e sejam as transformações não-lineares definidas por e . A transformações é dada por:

1. .
2. .
3. .
4. .

Calcule o valor de sabendo que:

2. .
4. .

A única transformação linear abaixo que NÃO é INJETIVA é:

1. Uma projeção sobre a reta em .
2. Uma rotação radianos em torno da reta em .
3. Um cisalhamento em .
4. A reflexão através da reta em .

Seja a reflexão através de uma reta que passa pela origem.

Considere as afirmativas:

1. Os autovalores de são e .
2. Existem dois autovetores   e de tais que é linearmente independente.

1. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
2. (I) é falsa e (II) é falsa.
3. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
4. (I) é falsa e (II) é verdadeira.

Considere definida por . Então a dimensão da imagem de menos a dimensão do núcleo de vale:

1. .
2. .
3. .
4. .