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Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

UFRJ, P2-2019.2

Considere uma transformação linear T : R n → R m , um conjunto β = u → 1 ,   u → 2 , … , u → p ⊂ R n e sua imagem T β = T u → 1 ,   T u → 2 , … , T u → p ⊂ R m . Considere as afirmativas:

  1. Se β é linearmente independente e   T é injetiva então T β também é linearmente independente.
  2. Se β é gerador de R n e T é injetiva então T β é gerador de R m .
  1. (I) é falsa e (II) é verdadeira.
  2. (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
  3. (I) é verdadeira e (II) é falsa.
  4. (I) é falsa e (II) é falsa.

Passo 1

Show de bolinhas galeraaa, primeiro vamos olhar pra afirmativa (I) ela diz que se β é um conjunto linearmente independente e T éinjetiva, então T β também é linearmente independente.

Mas calma lá meu aprovado, como a Álgebra Linear é linda perfeita sem defeitos, podemos testar essa afirmativa. Saca só.

Passo 2

Suponhamos que T seja injetiva, β seja L.I, mas T β seja L.D (o contrário do que queremos). Então isso quer dizer que algum vetor T u → i é combinação linear dos outros tal que:

T u → i = a 1 T u → 1 + a 2 T u → 2 + … + a i - 1 T u → i - 1 + a i + 1 T u → i + 1 + … + a p T u → p

Logo, passando o coeficiente a k para dentro da transformação, temos que:

T u → i = T a 1 u → 1 + T a 2 u → 2 + … + T a i - 1 u → i - 1 + T a i + 1 u → i + 1 + … + T a p u → p

E agora passando tudo pro outro lado do igual, chegamos em:

T u → i - T a 1 u → 1 - T a 2 u → 2 - … - T a i - 1 u → i - 1 - T a i + 1 u → i + 1 - … - T a p u → p = 0 →

E juntando tudo dentro do operador T , temos:

T u → i - a 1 u → 1 - a 2 u → 2 - … - a p u → p = 0 →

E é aqui que tá a malandragem, porque saca só, tu lembra que o enunciado disse pra gente que o operador T é injetivo! Então, isso quer dizer que se T v → = 0 → , obrigatoriamente v → é nulo,   v → = 0 → . Masss em:

T u → i - a 1 u → 1 - a 2 u → 2 - … - a p u → p = 0 →

Temos que o vetor u → i - a 1 u → 1 - a 2 u → 2 - … - a p u → p , é não nulo, dado que o conjunto β é L.I, e esse vetor é uma combinação linear dos vetores desse conjunto. Portanto, se β é linearmente independente e   T é injetiva então T β também é linearmente independente.

E dessa forma nossa afirmativa (I) é verdadeira.

Passo 3

Xuxu beleza então, agora na afirmativa (II), queremos saber se β é gerador de R n e T é injetiva então T β vai ser gerador de R m . E aqui a gente pode usar de toda malicia que a álgebra nos permite e usar um contraexemplo.

Saca só, se pegarmos por exemplo a transformação T x ,   y = x ,   y ,   y ;     T : R 2 → R 3 . De fato T é injetiva pois T x ,   y = 0 → implica que x = 0   e   y = 0 . MAAAASSS, se pegarmos agora β 1,0 ,   0,1 , temos:

T β = T 1,0 ,     T 0,1 = 1 ,   0 ,   0 ,     0 ,   1 ,   1

E essa base 1 ,   0 ,   0 ,     0 ,   1 ,   1 não gera R ³ , pois são apenas 2 vetores, e precisaríamos de 3. Logo, afirmativa (II) é falsa.

Resposta

  1. Verdadeira.
  2. Falsa.

Letra (c).

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