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Exercícios Resolvidos de Injetividade, Sobrejetividade e Bijetividade de uma TL

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Enunciado

UFRJ, P2-2019.2

A única transformação linear abaixo que NÃO é INJETIVA é:

  1. Uma projeção sobre a reta 1,2   em R 2 .
  2. Uma rotação π / 3 radianos em torno da reta - 4 ,   3 ,   - 3   em R 3 .
  3. Um cisalhamento em R 2 .
  4. A reflexão através da reta - 2 ,   - 1   em R 2 .

Passo 1

Mec Mec de bolinhas meus amores, queremos encontrar a transformação linear que NÃO é INJETIVA.

MAASS, sabemos que uma transformação que É INJETIVA tem a dimensão do núcleo igual a 0 . Portanto, precisamos ver qual dessas trasnformações que tem a dimensão do núcleo diferente de 0 , que aí teremos nossa respota. Então bora testar as alternativas pra ver qual se encaixa, #BrotaNoPasso2.

Passo 2

Saca só, na letra (a), temos que a transformação é uma projeção ortogonal sobre a reta 1,2   em R 2 . E uma projeção, sempre pega o vetor ortogonal a reta projetante, nesse caso ortogonal a 1,2 , e o leva no 0 , ou seja, dado que o vetor ortogonal a 1,2 é v → :

T v → = 0 →

Masss para um vetor u → estar no núcleo de uma transformação, a seguinte igualdade precisa ser satisfeita:

T u → = 0 →

Então isso quer dizer que que o vetor v → , ortogonal a reta 1,2 , está no núcleo de T , fazendo com que:

dim ⁡ N ú c l e o T ≠ 0

Portanto, logo de cara, nossa letra (a) é a alternativa que buscamos.

Passo 3

E para as outras alternativas, temos que transformações do tipo, Rotação/Reflexão/Cisalhamento, são SEMPRE transformações INJETIVAS, independentemente do espaço em que elas estão contidas. Isso se deve ao fato de ambas não levarem nenhum vetor que seja diferente do 0 , no 0 . Logo, são todas INJETIVAS.

Resposta

Letra (a), NÃO é INJETIVA.

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