Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Matriz Inversa

Ver Teoria
Exercício 4412345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243454647484950515253545556575859606162636465

Enunciado

UFRJ, P2-2019.2

Seja a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 =   1 0 0 0 6 7 - 3 1 1 - 1

Então a 11 + a 22 + a 33 vale:

  1. - 4 .
  2. - 8 .
  3. - 9 .
  4. - 6 .

Passo 1

Tranquilovski então galeris, o enunciado deu pra gente igualdade:

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 =   1 0 0 0 6 7 - 3 1 1 - 1

E pede para encontrarmos a 11 + a 22 + a 33 . E como é gente é malandro, bora encontrar logo essa inversa, que ai poderemos descobrir os valores de a 11 ,   a 22   e   a 33 . Vem aqui pro Passo 2 comigo.

Passo 2

Pra encontrarmos a inversa de uma matriz, temos vários métodos divertidos, mas o mais legal disparada EVER é através da Eliminação de Gauss-Jordan (ou escalonamento, para os mais chegados).

Portanto, escalonando a matriz da direita, vamos ter:

1 0 0 0 6 7 - 3 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⇒     L 3 = L 3 + 3 L 1 = 1 0 0 0 6 7 0 1 1 1 0 0 0 1 0 3 0 1

Agora trocando a segunda com a terceira linha, temos:

1 0 0 0 6 7 0 1 1 1 0 0 0 1 0 3 0 1 ⇒     L 3 ⇔ L 2 = 1 0 0 0 1 1 0 6 7 1 0 0 3 0 1 0 1 0

Agora fazendo a terceira linha menos 6 vezes a segunda, temos:

1 0 0 0 1 1 0 6 7 1 0 0 3 0 1 0 1 0 ⇒     L 3 = L 3 - 6 L 2 = 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 3 0 1 - 18 1 - 6

Agora é só fazer a segunda linha menos a terceira, saca só:

1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 3 0 1 - 18 1 - 6 ⇒     L 2 = L 2 - L 3   = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 21 - 1 7 - 18 1 - 6

Agora ficou show!

Passo 3

Então quer dizer que:

1 0 0 0 6 7 - 3 1 1 - 1 = 1 0 0 21 - 1 7 - 18 1 - 6

E sabemos que:

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 =   1 0 0 0 6 7 - 3 1 1 - 1

Logo:

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 =   1 0 0 21 - 1 7 - 18 1 - 6

Portanto, a 11 = 1 , a 22 = - 1 e a 33 = - 6 :

a 11 + a 22 + a 33 = 1 - 1 - 6

a 11 + a 22 + a 33 = - 6

Que é igual nossa letra (d).

Resposta

Letra d, - 6 .

Exercícios de Livros Relacionados

Seja A =1 - 1 - 4 1 .Mostraremos no Exemplo 6.6 na página 398 que P = 1 1 - 2 2 e D = 3 0 0 - 1 São tais que A = P D P - 1 .Determine A k , para k =1, 2, 3...
23. Sejam Ax=b um sistema de equações lineares consistente arbitrário e x1 uma solução fixada. Mostre que qualquer solução do sistema pode ser escrita na forma x=x1+x0, em que x0 é a solução de Ax=0.
Simplifique(A C^(- 1))^(- 1) (A C^(- 1)) (A C^(- 1))^(- 1) A D^(- 1)
Use o Teorema 1.4 . 5 para calcular a inversa da matriz A = ([[3,1],[5,2]])
Use o Teorema 1.4 . 5 para calcular a inversa da matriz D = ([[2,0],[0,3]])