UFRJ, P2-2019.2
Considere as afirmativas:
- Sejam e matrizes invertíveis. Se e comutam (isto é, ) então e comutam.
- Seja uma matriz invertível. Então .
- (I) é falsa e (II) é falsa.
- (I) é verdadeira e (II) é falsa.
- (I) é falsa e (II) é verdadeira.
- (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
Passo 1
Belejóia galerinha, na afirmativa (I) queremos saber se sejam e matrizes invertíveis, se e comutam (isto é, ) então e comuta também (. E pra poder testar essa afirmativa a gente pode fazer algumas operações partindo do que a gente conhece, que é:
Primeiro, podemos multiplicar tudo por , dos dois lados, respeitando a ordem, isto é, se eu multiplico pela esquerda de um lado, vou ter que multiplicar pela esquerda do outro lado também, assim ó:
E o interessante da gente fazer isso é que quando temos uma multiplicação do tipo
Ela vai resultar na Matriz Identidade, :
Onde é o elemento neutro da multiplicação, .
Passo 2
Isso quer dizer que podemos substituir aquele por , desse jeito:
Show de bola, tá começando a ficar divertido heim rsrs. Agora vamos multiplicar por , pela direita, dos dois lados, assim ó:
Logo:
Passo 3
Iradoso, já que tá dando certo, vamos então multiplicar por , pela esquerda, dos dois lados desse jeito:
E por fim, multiplicando por , pela direita, dos dois lados vamos obter:
Então sim, realmente se e comutam, então e também irão comutar. Verdadeira.
Passo 4
Agora na afirmativa (II), queremos verificar que, seja uma matriz invertível, então . E pra isso a gente pode ser bem sagaz e pegar um contra exemplo, pensa comigo, se tivéssemos a matriz do tipo:
Onde . Para uma matriz ser invertível, basta que ela seja quadrada e a dimensão do seu núcleo ser igual a . Nossa matriz do contra exemplo possui duas colunas linearmente independente, fazendo com que a . E como estamos falando de uma matriz ), isso faz com que seu núcleo tenha dimensão igual a , o que caracteriza uma matriz invertível. Logo, nossa afirmativa é Falsa. E nossa resposta final é Letra (b).
Resposta
Letra b.
- Verdadeira.
- Falsa.