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Exercícios Resolvidos de Matriz Inversa

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Enunciado

UFRJ, P2-2019.2

Seja T : R 2 → R 3 a transformação linear que satisfaz T 4 ,   - 3 = - 3 ,   1 ,   4 e T - 2 ,   - 1 = 1 ,   2 ,   3 . A matriz que representa T é:

  1. 4 - 2 - 3 - 1 - 1 3 1 - 1 2 4 3 .
  2. 3 - 1 4 1 2 3 4 - 2 - 3 - 1 - 1 .
  3. 4 - 2 - 3 - 1 - 1 3 - 1 4 1 2 3 .
  4. 3 1 - 1 2 4 3 4 - 2 - 3 - 1 - 1 .

Passo 1

Tranquileba então meus amores, queremos dar um jeito de descobrir a matriz que representa T , dado que T 4 ,   - 3 = - 3 ,   1 ,   4 e T - 2 ,   - 1 = 1 ,   2 ,   3 . E pra isso, primeiro podemos reescrever essas informações como:

T 4 ,   - 3 = - 3 ,   1 ,   4 ⇔ T 4 - 3 = - 3 1 4

T - 2 ,   - 1 = 1 ,   2 ,   3 ⇔ T - 2 - 1 = 1 2 3

Agora sim, começou a ficar bonito, e o melhor de tudo é que agora a gente pode juntar essas informações todas em uma equação só rsrs saca só

Passo 2

Como toda malandragem do mundo, temos que

T 4 - 3 = - 3 1 4       e         T - 2 - 1 = 1 2 3

Ou juntando um pouco:

T 4 - 3 - 2 - 1 = - 3 1 4 1 2 3

E agora perdendo o medo, e juntando de vez, temos que a igualdade é:

T 4 - 2 - 3 - 1 = - 3 1 1 2 4 3

Passo 3

E como queremos isolar o T , então devemos passar aquela matriz para o outro lado. E pra isso, podemos multiplicar pela inversa dessa matriz dos dois lados, já que uma matriz multiplicada pela sua inversa é igual a identidade. Logo:

T 4 - 2 - 3 - 1 = - 3 1 1 2 4 3

T 4 - 2 - 3 - 1 4 - 2 - 3 - 1 - 1 ⏝ I d e n t i d a d e = - 3 1 1 2 4 3 4 - 2 - 3 - 1 - 1

T = - 3 1 1 2 4 3 4 - 2 - 3 - 1 - 1

Portanto, a resposta certa é a alternativa (d)

Resposta

Letra (d), T = - 3 1 1 2 4 3 4 - 2 - 3 - 1 - 1 .

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