UFRJ, P2-2019.2
Questão Extra.
Seja uma matriz com e seja um vetor de . Considere as afirmativas:
- Se , então é autovetor de .
- Se , então é autovetor de .
- (I) é falsa e (II) é verdadeira.
- (I) é verdadeira e (II) é falsa.
- (I) é falsa e (II) é falsa.
- (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
Passo 1
Belejóia galeris, a questão extra geralmente costuma ser um pouquinho mais difícil que as outras, mas nada que assuste a gente, cola aqui comigo que vamos mostrar pra ela com quantos vetores se faz um espaço vetorial.
Saca só, o enunciado afirma que dada uma matriz , vamos ter que a dimensão do núcleo dessa matriz é:
E queremos saber se, ou se , fará com que seja um autovetor de . Tá né, mas que que é um autovetor. Bom, um autovetor é qualquer vetor tal que:
Onde é uma constante qualquer pertencente aos reais, ou seja, sempre que podemos trocar toda a operação que a matriz faz, por uma constante qualquer , então esse vetor é um autovetor.
Passo 2
Show de bolinhas então, vamos olhar pra primeira afirmativa, ela diz que se , então é autovetor de , mas a gente só conhece a dimensão do núcleo. Então pra descobrir a dimensão da bora usar o Teorema do Núcleo e Imagem, que diz o seguinte, dada uma matriz , temos:
E como nossa matriz da questão é , e já conhecemos o valor da dimensão do núcleo, podemos substituir por:
Resolvendo então:
Isso quer dizer que se a dimensão da Imagem é igual a , o espaço vetorial que ela se refere é uma reta. Então se eu digo que , quer dizer que pertence a uma reta. Portanto quando fazemos a multiplicação , estamos pegando um vetor que pertence a e levando ele de volta na mesma , ou seja, levando de uma reta para a mesma reta. E essa operação de levar de uma reta para a mesma reta pode ser facilmente substituída por uma constante da forma:
Portanto, para esse caso especifico, se , então é autovetor de , e nossa afirmativa (I) é verdadeira.
Passo 3
Agora nossa segunda afirmativa diz que se , então é autovetor de .
Mas calma lá meu patrão, porque sempre que estamos falando do núcleo de uma matriz, estamos falando do o. Esse sistema homogêneo pode ser escrito como:
Ou seja, o conjunto solução do sistema homogêneo será o conjunto gerado pelos vetores . Então quando a afirmativa (II) diz que , ele quer dizer que:
Maaaasss, é ai que tá a malandragem, porque o enunciado garante pra gente que , dessa forma temos que:
Onde teremos , e dessa forma se , então de fato é um autovetor de . E nossa afirmativa (II) também é verdadeira.
Resposta
Letra d.
- Verdadeira.
- Verdadeira.