UFRJ, P2-2019.2
Seja uma matriz . Considere as afirmativas:
- pode ser maior do que .
- pode ser igual a .
- (I) é falsa e (II) é falsa.
- (I) é verdadeira e (II) é falsa.
- (I) é falsa e (II) é verdadeira.
- (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
Passo 1
Belezera galerinha, dada uma matriz , queremos analisar as possibilidades sobre a dimensão do Núcleo e a dimensão da Imagem dessa matriz. E a gente tem um teorema muito bonitinho que por pura coincidência relaciona essas duas grandezas, pasmem, é o Teorema do Núcleo e Imagem, ou para os mais íntimos, Teorema Fundamental da Álgebra, ele diz que dada uma matriz , temos que:
Passo 2
Então é isso mesmo produção!? Quer dizer que temos a matriz , onde , portanto:
E a afirmativa (I), tá dizendo que a pode ser maior do que . E ora bolas, se tivéssemos por exemplo , pelo teorema, ficaríamos com:
E , logo,
Portanto a afirmativa (I) é verdadeira.
Passo 3
Agora na afirmativa (II), tá dizendo que pode ser igual a , maass, se temos que:
E (in)felizmente, não podemos ter uma dimensão fracionada, sempre sempre sempre, a dimensão de um espaço vetorial vai ter que ser inteira! Portanto a afirmativa (II) é falsa!! E a reposta é letra (b).
Resposta
Letra b.
- Verdadeira.
- Falsa.