UFRJ, P2-2019.2
Considere o sistema:
Seu conjunto-solução é igual a translação de um sub-espaço de dimensão:
- 3
- 2
- 4
- 1
Passo 1
Belezoca de motoca galerinha, dado o sistema:
Queremos encontrar a dimensão de um sub-espaço tal que sua translação é igual ao conjunto solução desse sisteminha fofinho.
Mas calma ai meu patrão, porque quando a gente diz conjunto solução, estamos nos referindo ao núcleo desse sistema. E precisamos saber que o conjunto solução de qualquer sistema homogêneo é uma translação do núcleo. Portanto, traduzindo tudo isso, queremos encontrar na verdade a dimensão do núcleo desse sistema!!
Passo 2
E pra encontramos a dimensão do núcleo, precisamos transformar nosso sistema particular, em um sistema homogêneo, para depois escalonamos. Mas não precisa assustar porque isso é só pra igualar tudo a , desse jeito:
A gente faz isso, porque agora podemos chamar nossa função simplesmente pela matriz:
E pra ficar mais fácil pra gente, o bizu matador é a gente tentar zera a coluna referente a variável do eixo , a terceira coluna no caso. Então pra segunda linha podemos fazer a Linha 2 menos duas vezes a Linha 1, desse jeito:
Agora para a terceira linha, podemos fazer:
E por fim, para a quarta e última linha, temos:
Logo, as duas últimas linhas são iguaizinhas, e por esse motivo podemos retirar elas da matriz, ficando assim:
Passo 3
Show de bola, ta começando a ficar bonito, isso quer dizer que temos apenas duas linhas linearmente independentes (as duas primeiras), e outro bizu quentinho, é que o número de linhas L.I é igual ao número de colunas L.I. E aí que a gente fica favorável, porque a dimensão da imagem é justamente o número de colunas L.I de uma matriz, logo
E pelo Teorema do Núcleo e Imagem, temos que para uma matriz qualquer :
E para nossa matriz, temos que ela é , fazendo com que:
E substituindo então o valor da dimensão da imagem que encontramos, temos que:
E portanto:
Logo, se a , a dimensão do nosso sub-espaço vai ser a mesma. Letra b.
Resposta
Letra (b).