UFRJ, P4-2019.2
Considere as afirmativas:
- Se é invertível, então é invertível.
- Se é diagonalizável, então é diagonalizável.
- (I) é falsa e (II) é verdadeira.
- (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
- (I) é verdadeira e (II) é falsa.
- (I) é falsa e (II) é falsa.
Passo 1
Belezera galerinha, na afirmativa (I) ele diz que se é invertível, então é invertível. Então saca só, pra gente ter certeza que uma matriz é invertível, precisamos garantir que ela seja quadrada e tenha dimensão do núcleo igual a :
Só que a dimensão do núcleo da matriz é exatamente igual a dimensão do núcleo da matriz transposta, tal que:
Portanto, se isso acontece, temos que:
E se a dimensão do núcleo de é igual a , quer dizer que satisfaz as condições de inversibilidade. Afirmativa (I), verdadeira.
Passo 2
Já na afirmativa (II), ele diz que se é diagonalizável, então é diagonalizável. E pra garantir que uma matriz pode ser diagonalizada, precisamos ter certeza que ela possui uma base de autovetores para . Mas pra calcular a dimensão do autoespaço de uma matriz , fazemos:
Ou seja, a dimensão do núcleo de , vai nos dizer a dimensão do autoespaço associado a . E como é diagonalizável, temos que:
Só que queremos descobrir se isso acontece para . MASSS, a malandragem aqui é que podemos fazer , tal que:
E como vimos no Passo 1, a dimensão do núcleo de uma matriz é igual a dimensão do núcleo da transposta, tal que:
Logo:
Garantido a existência de uma base de autovetores de para . Então sim, se a matriz é diagonalizável, então também é. Resposta certa, letra (b)
Resposta
Letra (b)