UFRJ, P4-2019.2
Seja uma matriz e sejam e autovalores distintos de . Se e são autovetores de associados ao autovalor , qual dos vetores abaixo pode ser um autovetor de associado a .
Passo 1
Belezoca galerinha, o segredo dessa questão é que para autovalores distintos, teremos também autovetores distintos, ou seja, os autovetores associados a serão linearmente independentes ao autovetor associado Então podemos testar as opções do enunciado pra saber qual delas é linearmente independente aos vetores e .
Passo 2
Na letra (a), temos o vetor , então se a gente montar uma matriz com os autovetores, teremos:
O bizu agora, é que se agente escalonar a matriz e alguma linha zerar por inteira, então os vetores são linearmente dependentes, então não será nossos autovetores. Então escalonando essa matriz, obtemos:
E logo de cara, o primeiro vetor já não permitiu que nenhuma linha zerasse, logo ele é um possível autovetor para .
Passo 3
Mas só pra gente confirmar, bora testar a mesma coisa com os outros vetores. Na letra (b), temos o vetor , logo a matriz é:
Escalonando ela, temos:
E vimos que a última linha inteira zerou, não permitindo que seja um autovetor.
Passo 4
Na letra (c), o vetor é e a matriz é:
Escalonando ela, obtemos:
E novamente a última linha zerou. E para finalizar, o vetor da letra (d) é , logo a matriz é:
Escalonando:
Logo, o único vetor que é linearmente aos autovetores de é o , fazendo eles um dos possíveis autovetores de . Resposta certa, letra (a).
Resposta
Letra (a)